No espaço vetorial M2 times 3(R) das matrizes 2 times 3 sobre R, considere o conjunto de matrizes
S=(lll 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ),(lll 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 ),(lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ),(lll 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 ),(lll 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 )
Prove que o conjunto S é linearmente dependente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando com espaço vetorial de matrizes, especificamente matrizes com números reais. O problema nos dá um conjunto de 5 matrizes, chamado , e a missão é provar que esse conjunto é linearmente dependente. Ou seja, queremos mostrar que pelo menos uma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas igual à matriz zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Matematicamente, para as matrizes c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 + c4 A4 + c5 A5 = 0 em , queremos encontrar números reais , não todos zero, tais que:
Aqui, é a matriz zero de dimensão .

Passo 3

Vamos escrever as matrizes do conjunto A1 = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , A2 = 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 , A3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , para facilitar:
A4 = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , A5 = 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0

Passo 4

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
c1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 + c2 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 + c3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 + c4 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 + c5 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz.

Passo 5

Vamos analisar cada posição:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
c1 cdot 1 + c4 cdot 1 = 0 Rightarrow c1 + c4 = 0
  1. Primeira linha, segunda coluna:
c1 cdot 1 + c5 cdot 1 = 0 Rightarrow c1 + c5 = 0
  1. Primeira linha, terceira coluna:
c1 cdot 0 + c4 cdot 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 (sem informação) çã
  1. Segunda linha, primeira coluna:
c2 cdot 1 + c4 cdot 1 = 0 Rightarrow c2 + c4 = 0
  1. Segunda linha, segunda coluna:
c2 cdot 1 + c5 cdot 1 = 0 Rightarrow c2 + c5 = 0
  1. Segunda linha, terceira coluna:
c3 cdot 1 = 0 Rightarrow c3 = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  • De , já temos um valor.
  • De , podemos dizer .
  • De , temos .
  • De , substituindo , temos .
  • De , substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.

Passo 7

Então, nossas soluções são:
c1 = c1 (livre), c2 = c1, c3 = 0, c4 = -c1, c5 = -c1
Isso significa que para qualquer valor de c1 = 1, c2 = 1, c3 = 0, c4 = -1, c5 = -1 , desde que 1 cdot A1 + 1 cdot A2 + 0 cdot A3 -1 cdot A4 -1 cdot A5 = 0 , temos uma combinação linear não trivial que resulta na matriz zero.
Por exemplo, se escolhermos , então:
Verificando:

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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