No espaço vetorial
das matrizes
sobre
, considere o conjunto de matrizes
Prove que o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando com espaço vetorial de matrizes, especificamente matrizes
com números reais. O problema nos dá um conjunto de 5 matrizes, chamado
, e a missão é provar que esse conjunto é linearmente dependente. Ou seja, queremos mostrar que pelo menos uma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas igual à matriz zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Matematicamente, para as matrizes
em
, queremos encontrar números reais
, não todos zero, tais que:
Aqui,
é a matriz zero de dimensão
.
Passo 3
Vamos escrever as matrizes do conjunto
para facilitar:
Passo 4
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz.
Passo 5
Vamos analisar cada posição:
- Primeira linha, primeira coluna:
- Primeira linha, segunda coluna:
- Primeira linha, terceira coluna:
- Segunda linha, primeira coluna:
- Segunda linha, segunda coluna:
- Segunda linha, terceira coluna:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
- De
, já temos um valor. - De
, podemos dizer . - De
, temos . - De
, substituindo , temos . - De
, substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.
Passo 7
Então, nossas soluções são:
Isso significa que para qualquer valor de
, desde que
, temos uma combinação linear não trivial que resulta na matriz zero.
Por exemplo, se escolhermos
, então:
Verificando:
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.