No espaço vetorial das matrizes sobre , considere o conjunto de matrizes
Prove que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando com espaço vetorial de matrizes, especificamente matrizes com números reais. O problema nos dá um conjunto de 5 matrizes, chamado , e a missão é provar que esse conjunto é linearmente dependente. Ou seja, queremos mostrar que pelo menos uma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas igual à matriz zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Matematicamente, para as matrizes em , queremos encontrar números reais , não todos zero, tais que:
Aqui, é a matriz zero de dimensão .
Passo 3
Vamos escrever as matrizes do conjunto para facilitar:
Passo 4
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz.
Passo 5
Vamos analisar cada posição:
Primeira linha, primeira coluna:
Primeira linha, segunda coluna:
Primeira linha, terceira coluna:
Segunda linha, primeira coluna:
Segunda linha, segunda coluna:
Segunda linha, terceira coluna:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
De , já temos um valor.
De , podemos dizer .
De , temos .
De , substituindo , temos .
De , substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.
Passo 7
Então, nossas soluções são:
Isso significa que para qualquer valor de , desde que , temos uma combinação linear não trivial que resulta na matriz zero.