No espaço vetorial das matrizes sobre , considere o conjunto de matrizes
Prove que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando com espaço vetorial de matrizes, especificamente matrizes com números reais. O problema nos dá um conjunto de 5 matrizes, chamado , e a missão é provar que esse conjunto é linearmente dependente. Ou seja, queremos mostrar que pelo menos uma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas igual à matriz zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero.
Matematicamente, para as matrizes em , queremos encontrar números reais , não todos zero, tais que:
Aqui, é a matriz zero de dimensão .

Passo 3

Vamos escrever as matrizes do conjunto para facilitar:

Passo 4

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz.

Passo 5

Vamos analisar cada posição:
  1. Primeira linha, primeira coluna:
  1. Primeira linha, segunda coluna:
  1. Primeira linha, terceira coluna:
çã
  1. Segunda linha, primeira coluna:
  1. Segunda linha, segunda coluna:
  1. Segunda linha, terceira coluna:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  • De , já temos um valor.
  • De , podemos dizer .
  • De , temos .
  • De , substituindo , temos .
  • De , substituindo e , temos , que é sempre verdadeiro.

Passo 7

Então, nossas soluções são:
Isso significa que para qualquer valor de , desde que , temos uma combinação linear não trivial que resulta na matriz zero.
Por exemplo, se escolhermos , então:
Verificando:

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Considere o conjunto , onde e são vetores em , e é a unidade imaginária.
(a) Mostre que é linearmente dependente sobre o corpo dos números complexos .
(b) Mostre que é linearmente independente sobre o corpo dos números reais .

Pergunta-se:
a)
Considere as retas e .
(d) Diga se LI ou LD (justificando);
Sejam uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor , uma reta dada por
(a) Encontre a equação paramétrica de ;