Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule o raio espectral.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes:
O objetivo é calcular o raio espectral de cada uma delas. O raio espectral é o maior valor absoluto dos valores próprios da matriz. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios de cada matriz.

Passo 2

Vamos começar com a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios dela.
Para uma matriz , os valores próprios são encontrados resolvendo o polinômio característico:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Calculando:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação :
Então, os valores próprios são:
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 3.

Passo 3

Agora, vamos para a matriz . Como é uma matriz , o processo é um pouco mais trabalhoso, mas a ideia é a mesma.
Primeiro, encontramos o polinômio característico:
Onde é a matriz identidade .
Calculando :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Portanto, os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 5.

Resposta

O raio espectral da matriz é 3 e o da matriz é 5.

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Determine a solução de cada um dos sistemas lineares

Pergunta-se:
a)
Considere o conjunto , onde e são vetores em , e é a unidade imaginária.
(a) Mostre que é linearmente dependente sobre o corpo dos números complexos .
(b) Mostre que é linearmente independente sobre o corpo dos números reais .