Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule o raio espectral.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes:
O objetivo é calcular o raio espectral de cada uma delas. O raio espectral é o maior valor absoluto dos valores próprios da matriz. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios de cada matriz.
Passo 2
Vamos começar com a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios dela.
Para uma matriz , os valores próprios são encontrados resolvendo o polinômio característico:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Calculando:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação :
Então, os valores próprios são:
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 3.
Passo 3
Agora, vamos para a matriz . Como é uma matriz , o processo é um pouco mais trabalhoso, mas a ideia é a mesma.
Primeiro, encontramos o polinômio característico:
Onde é a matriz identidade .
Calculando :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Portanto, os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 5.