Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Calcule o raio espectral.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes:
A = 2 & -1 -1 & 2
B = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
O objetivo é calcular o raio espectral de cada uma delas. O raio espectral é o maior valor absoluto dos valores próprios da matriz. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios de cada matriz.

Passo 2

Vamos começar com a matriz det(A - lambda I) = 0 . Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios dela.
Para uma matriz A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda , os valores próprios são encontrados resolvendo o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1) = (2 - lambda)^2 - 1
Onde (2 - lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 é a matriz identidade e lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 representa os valores próprios.
Calculando:
lambda1 = 3
Calculando o determinante:
lambda2 = 1
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação :
Então, os valores próprios são:
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 3.

Passo 3

Agora, vamos para a matriz det(B - lambda I) = 0 . Como é uma matriz B - lambda I = 2 - lambda & 1 & 1 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda , o processo é um pouco mais trabalhoso, mas a ideia é a mesma.
Primeiro, encontramos o polinômio característico:
det(B - lambda I) = (2 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 1[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 1[2 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1]
Onde det(B - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 3lambda - 3 é a matriz identidade det(B - lambda I) = -lambda^3 + 7lambda^2 - 11lambda + 5 .
Calculando lambda1 = 1 (raiz dupla) :
lambda2 = 5
Calculando o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Portanto, os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 5.

Resposta

O raio espectral da matriz é 3 e o da matriz é 5.

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