Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule o raio espectral.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes:
A = 2 & -1 -1 & 2
B = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
O objetivo é calcular o raio espectral de cada uma delas. O raio espectral é o maior valor absoluto dos valores próprios da matriz. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios de cada matriz.
Passo 2
Vamos começar com a matriz det(A - lambda I) = 0 . Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios dela.
Para uma matriz A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda , os valores próprios são encontrados resolvendo o polinômio característico:
Onde (2 - lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 é a matriz identidade e lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 representa os valores próprios.
Calculando:
lambda1 = 3
Calculando o determinante:
lambda2 = 1
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação :
Então, os valores próprios são:
O raio espectral de é o maior valor absoluto entre e , ou seja, 3.
Passo 3
Agora, vamos para a matriz det(B - lambda I) = 0 . Como é uma matriz B - lambda I = 2 - lambda & 1 & 1 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda , o processo é um pouco mais trabalhoso, mas a ideia é a mesma.