Considere as retas e .
(d) Diga se LI ou LD (justificando);
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, r: x-54 = y-33 = z-2 e s: x-3 = y-12 = z+1-1 , definidas pelas equações:
O que queremos fazer aqui é descobrir se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e o que representa o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas r = 4 3 1 e s = 1 2 -1 . Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes das frações nos dão os vetores diretores. Então:
Para a reta , o vetor diretor é:
Porque as frações são divididas por 4, 3 e 1 (já que ).
Para a reta , o vetor diretor é:
Aqui, os coeficientes são 1, 2 e -1.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o que é o vetor x = 5, y = 3, z = 2 . Geralmente, x = 3, y = 1, z = -1 está em AB = 3 - 5 1 - 3 -1 - 2 = -2 -2 -3 e está em . Vamos pegar pontos específicos nessas retas para facilitar.
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
O vetor é então:
Passo 4
Agora temos os três vetores:
r = 4 3 1 , s = 1 2 -1 , AB = -2 -2 -3
Para verificar se são linearmente independentes ou dependentes, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são dependentes; se não, são independentes.