Considere as retas e .
(d) Diga se LI ou LD (justificando);
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, e , definidas pelas equações:
O que queremos fazer aqui é descobrir se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e o que representa o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas e . Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes das frações nos dão os vetores diretores. Então:
Para a reta , o vetor diretor é:
Porque as frações são divididas por 4, 3 e 1 (já que ).
Para a reta , o vetor diretor é:
Aqui, os coeficientes são 1, 2 e -1.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o que é o vetor . Geralmente, está em e está em . Vamos pegar pontos específicos nessas retas para facilitar.
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
O vetor é então:
Passo 4
Agora temos os três vetores:
Para verificar se são linearmente independentes ou dependentes, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são dependentes; se não, são independentes.
Passo 5
Vamos montar a matriz:
Agora, calculamos o determinante de :
Como o determinante é (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.