Considere as retas r: x-54=y-33=z-2 e s: x-3=y-12=z+1-1.
(d) Diga se r, s, A B LI ou LD (justificando);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, r: x-54 = y-33 = z-2 e s: x-3 = y-12 = z+1-1 , definidas pelas equações:
O que queremos fazer aqui é descobrir se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e o que representa o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas r = 4 3 1 e s = 1 2 -1 . Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes das frações nos dão os vetores diretores. Então:
Para a reta , o vetor diretor é:
Porque as frações são divididas por 4, 3 e 1 (já que ).
Para a reta , o vetor diretor é:
Aqui, os coeficientes são 1, 2 e -1.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o que é o vetor x = 5, y = 3, z = 2 . Geralmente, x = 3, y = 1, z = -1 está em AB = 3 - 5 1 - 3 -1 - 2 = -2 -2 -3 e está em . Vamos pegar pontos específicos nessas retas para facilitar.
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
Para a reta , quando :
Então, ponto é .
O vetor é então:

Passo 4

Agora temos os três vetores:
r = 4 3 1 , s = 1 2 -1 , AB = -2 -2 -3
Para verificar se são linearmente independentes ou dependentes, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são dependentes; se não, são independentes.

Passo 5

Vamos montar a matriz:
M = 4 & 1 & -2 3 & 2 & -2 1 & -1 & -3
Agora, calculamos o determinante de det(M) = 4 cdot (2 cdot (-3) - (-2) cdot (-1)) - 1 cdot (3 cdot (-3) - (-2) cdot 1) + (-2) cdot (3 cdot (-1) - 2 cdot 1) :
= 4 cdot (-6 - 2) - 1 cdot (-9 - (-2)) + (-2) cdot (-3 - 2)
= 4 cdot (-8) - 1 cdot (-7) + (-2) cdot (-5)
= -32 + 7 + 10 = -15
Como o determinante é (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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