Considere o conjunto
com a operaçāo de multiplicaçāo
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo
. Justifque sua resposta!
Passo 1
Beleza, você tem um conjunto
e uma operação definida como
. O lance aqui é encontrar o elemento neutro dessa operação. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente de estruturas de grupo. Vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como aplicá-lo nessa operação para descobrir qual número em
cumpre esse papel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em qualquer operação binária, um elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento do conjunto, não muda esse outro elemento. Ou seja, se
é o elemento neutro, então para todo
em
, temos
.
Passo 3
Agora, nossa operação é
. Queremos encontrar um número
em
que, quando multiplicado por qualquer
em
e pegarmos o resto da divisão por 7, o resultado seja sempre
. Isso significa que
para todo
em
.
Passo 4
Vamos testar os possíveis valores de
em
:
-
Se
:
Para,
Não funciona. -
Se
:
Para qualquer, (já que está entre 0 e 7)
Funciona para todos os elementos. -
Se
a :
Por exemplo, parae ,
Não funciona.
Passo 5
Vimos que somente
satisfaz a condição de que
para todo
em
. Portanto, o elemento neutro para a operação
é 1.
Resposta
O elemento neutro para a operação
é 1.
Exercícios relacionados
A expressão abaixo é a equação de uma curva chamada cardioide:
Obtenha a equação da reta tangente no ponto
. Obtenha a equação da reta normal no mesmo ponto.
Defina formalmente
Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de .
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores extremos de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
Prove, por indução, que
se
.