Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} com a operaçāo de multiplicaçāo
a ⊙ b = resto da divisão de (a · b) por 7ã
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo odot. Justifque sua resposta!

Passo 1

Beleza, você tem um conjunto e uma operação definida como ã. O lance aqui é encontrar o elemento neutro dessa operação. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente de estruturas de grupo. Vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como aplicá-lo nessa operação para descobrir qual número em A cumpre esse papel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em qualquer operação binária, um elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento do conjunto, não muda esse outro elemento. Ou seja, se e é o elemento neutro, então para todo a em A, temos .

Passo 3

Agora, nossa operação é . Queremos encontrar um número e em A que, quando multiplicado por qualquer a em A e pegarmos o resto da divisão por 7, o resultado seja sempre a. Isso significa que para todo a em A.

Passo 4

Vamos testar os possíveis valores de e em A:
  • Se :
    Para ,
    Não funciona.
  • Se :
    Para qualquer a, (já que a está entre 0 e 7)
    Funciona para todos os elementos.
  • Se a :
    Por exemplo, para e ,
    Não funciona.

Passo 5

Vimos que somente satisfaz a condição de que para todo a em A. Portanto, o elemento neutro para a operação odot é 1.

Resposta

O elemento neutro para a operação odot é 1.

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