Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de
.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores extremos de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício que envolve a função
. Vamos analisar onde essa função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos, e determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira de
para determinar onde a função é crescente ou decrescente. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em diferentes pontos.
Passo 3
Vamos derivar
:
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
Passo 4
Para determinar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
.
Como
para
, o sinal de
depende de
.
- Se
⇒ ⇒ , então : função crescente. - Se
⇒ ⇒ , então : função decrescente.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores extremos. Os extremos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Então,
é um ponto crítico. Para determinar se é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada segunda.
Passo 6
Vamos encontrar a derivada segunda de
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos que
, indicando que
é um ponto de máximo.
Passo 7
Por último, vamos determinar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Isso requer a análise da derivada segunda.
A concavidade da função depende do sinal de
:
- Se
: concava para cima. - Se
: concava para baixo.
Os pontos onde
são possíveis pontos de inflexão.
Passo 8
Agora, vamos resolver o segundo exercício com a função
no intervalo
. Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos e identificar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 9
Primeiro, calculamos a derivada primeira para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Passo 10
Fatorando a derivada:
Passo 11
Para encontrar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
-
⇒ função crescente. -
⇒ função decrescente.
Os pontos críticos são
,
, e
.
Analisando os intervalos:
-
: ⇒ decrescente. -
: ⇒ crescente. -
: ⇒ decrescente. -
: ⇒ crescente.
Passo 12
Para os valores extremos, verificamos os pontos críticos dentro do intervalo
:
-
Em
: - Muda de decrescente para crescente ⇒ mínimo local.
-
Em
: - Muda de decrescente para crescente ⇒ mínimo local.
Em
, a derivada é zero, mas não há mudança de sinal (necessário verificar a concavidade).
Passo 13
Agora, encontramos a derivada segunda para determinar a concavidade:
Fatorando:
Resolvendo
:
Os pontos de inflexão são
e
.
Passo 14
Analisando os sinais de
, determinamos:
- Concava para cima onde
. - Concava para baixo onde
.
Passo 15
Vamos resolver o terceiro exercício com a função
. Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos, e identificar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 16
Primeiro, calculamos a derivada primeira para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Usando a regra do quociente:
Passo 17
Para determinar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
depende de
:
- Se
⇒ ⇒ ⇒ crescente. - Se
⇒ ⇒ ⇒ decrescente. - Se
⇒ ⇒ pontos críticos.
Passo 18
Para os valores extremos, verificamos os pontos críticos onde
:
Analisando a concavidade para determinar se são máximos ou mínimos:
Passo 19
Calculamos a derivada segunda:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Passo 20
Analisamos a derivada segunda nos pontos críticos:
-
Em
: -
Em
:
Passo 21
Para a concavidade e pontos de inflexão, analisamos o sinal de
:
- Se
: ⇒ concava para baixo. - Se
: ⇒ concava para cima. - Se
: ⇒ ponto de inflexão.
Resposta
Para a função
:
a) É crescente no intervalo
e decrescente em
e
.
b) Possui um máximo local em
e um mínimo local em
.
c) É concava para cima em
e concava para baixo em
, com ponto de inflexão em
.
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se
.
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.