Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de f.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
f(x) = ln(x) / raiz(x) f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 2, x ∈ [-2, 3] f(x) = 4x / (x^2 + 1)

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício que envolve a função . Vamos analisar onde essa função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos, e determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira de para determinar onde a função é crescente ou decrescente. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em diferentes pontos.

Passo 3

Vamos derivar :
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:

Passo 4

Para determinar onde é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de .
Como para , o sinal de depende de .
  • Se , então : função crescente.
  • Se , então : função decrescente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores extremos. Os extremos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Então, é um ponto crítico. Para determinar se é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada segunda.

Passo 6

Vamos encontrar a derivada segunda de :
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos que , indicando que é um ponto de máximo.

Passo 7

Por último, vamos determinar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Isso requer a análise da derivada segunda.
A concavidade da função depende do sinal de :
  • Se : concava para cima.
  • Se : concava para baixo.
Os pontos onde são possíveis pontos de inflexão.

Passo 8

Agora, vamos resolver o segundo exercício com a função no intervalo . Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos e identificar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 9

Primeiro, calculamos a derivada primeira para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 10

Fatorando a derivada:

Passo 11

Para encontrar onde é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de :
  • ⇒ função crescente.
  • ⇒ função decrescente.
Os pontos críticos são , , e .
Analisando os intervalos:
  • : ⇒ decrescente.
  • : ⇒ crescente.
  • : ⇒ decrescente.
  • : ⇒ crescente.

Passo 12

Para os valores extremos, verificamos os pontos críticos dentro do intervalo :
  • Em :
    • Muda de decrescente para crescente ⇒ mínimo local.
  • Em :
    • Muda de decrescente para crescente ⇒ mínimo local.
Em , a derivada é zero, mas não há mudança de sinal (necessário verificar a concavidade).

Passo 13

Agora, encontramos a derivada segunda para determinar a concavidade:
Fatorando:
Resolvendo :
Os pontos de inflexão são e .

Passo 14

Analisando os sinais de , determinamos:
  • Concava para cima onde .
  • Concava para baixo onde .

Passo 15

Vamos resolver o terceiro exercício com a função . Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores extremos, e identificar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 16

Primeiro, calculamos a derivada primeira para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Usando a regra do quociente:

Passo 17

Para determinar onde é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de :
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de depende de :
  • Se ⇒ crescente.
  • Se ⇒ decrescente.
  • Se ⇒ pontos críticos.

Passo 18

Para os valores extremos, verificamos os pontos críticos onde :
Analisando a concavidade para determinar se são máximos ou mínimos:

Passo 19

Calculamos a derivada segunda:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:

Passo 20

Analisamos a derivada segunda nos pontos críticos:
  • Em :
    á
  • Em :
    í

Passo 21

Para a concavidade e pontos de inflexão, analisamos o sinal de :
  • Se : ⇒ concava para baixo.
  • Se : ⇒ concava para cima.
  • Se : ⇒ ponto de inflexão.

Resposta

Para a função :
a) É crescente no intervalo e decrescente em e .
b) Possui um máximo local em e um mínimo local em .
c) É concava para cima em e concava para baixo em , com ponto de inflexão em .

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