Prove, por indução, que
se
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que a soma dos termos
é igual a
para todo número inteiro
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar que uma fórmula vale para todos os inteiros a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é prova por indução matemática. É uma técnica usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. A prova tem dois passos principais:
- Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (neste caso,
). - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo
e, a partir dessa suposição, mostrar que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Vamos começar com o caso base, ou seja, verificar se a fórmula funciona para
. Substituindo
na soma:
Agora, substituindo
na expressão
:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está comprovado.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Com base na hipótese de indução, precisamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Simplificando o último termo:
Passo 6
Vamos somar este termo à hipótese de indução:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na fração:
Passo 8
Observamos que:
Portanto, a expressão simplificada é:
Isso prova que, se a fórmula é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, a soma
é igual a
para todo
.
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Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de .
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores extremos de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
Considere o conjunto
com a operaçāo de multiplicaçāo
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo
. Justifque sua resposta!
As funções trigonométricas hiperbólicas são
a. Obtenha as expressões
b. Calcule a derivada de
.
Usando a regra da cadeia, obtenha a derivada das funções
a.
b.
c.
a.
b.
c.