Prove, por indução, que 1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13) + ... + 1/((4n-3)*(4n+1)) = n/(4n+1) se n ≥ 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que a soma dos termos é igual a para todo número inteiro n ≥ 2. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar que uma fórmula vale para todos os inteiros a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é prova por indução matemática. É uma técnica usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. A prova tem dois passos principais:
  1. Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (neste caso, ).
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo e, a partir dessa suposição, mostrar que ela também é verdadeira para .

Passo 3

Vamos começar com o caso base, ou seja, verificar se a fórmula funciona para . Substituindo na soma:
Agora, substituindo na expressão :
Como ambos os lados são iguais, o caso base está comprovado.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Com base na hipótese de indução, precisamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:
Simplificando o último termo:

Passo 6

Vamos somar este termo à hipótese de indução:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é :

Passo 7

Agora, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na fração:

Passo 8

Observamos que:
Portanto, a expressão simplificada é:
Isso prova que, se a fórmula é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, a soma é igual a para todo n ≥ 2.

Exercícios relacionados

Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de f.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
f(x) = ln(x) / raiz(x) f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 2, x ∈ [-2, 3] f(x) = 4x / (x^2 + 1)
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} com a operaçāo de multiplicaçāo
a ⊙ b = resto da divisão de (a · b) por 7ã
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo odot. Justifque sua resposta!
As funções trigonométricas hiperbólicas são
& senh(x)=e^x-e^-x2 & cosh (x)=e^x+e^-x2 & tgh(x)=senh(x)cosh (x)
a. Obtenha as expressões
tgh(x+y)=tgh(x)+tgh(y)1+tgh(x) tgh(y) e tgh(ln x)=x^2-1x^2+1
b. Calcule a derivada de tgh(ln x).
Usando a regra da cadeia, obtenha a derivada das funções
a. f(x) = arctg(x)
b. f(x) = arcsen(x)
c. f(x) = arctg(raiz((1 - x) / (1 + x)))