Defina formalmente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir formalmente o limite de
quando
se aproxima de
, e esse limite é igual a
. A matéria que estamos tratando aqui é o cálculo de limites, e vamos precisar usar a definição formal de limite, também conhecida como definição
-
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, conforme
fica cada vez mais próximo de
, o valor de
fica cada vez mais próximo de
.
Passo 3
A definição formal usa dois valores:
(epsilon) e
(delta). O
representa o quão próximo queremos que
esteja de
, e o
representa o quão próximo
deve estar de
para que isso aconteça.
Passo 4
Então, formalmente, queremos dizer que para todo
, existe um
tal que, se
, então
. Vamos quebrar isso:
-
: está dentro de uma distância de . -
: o valor da função está dentro de uma distância de .
Passo 5
Agora, vamos simplificar
:
Queremos que isso seja menor que
.
Passo 6
Para encontrar
em termos de
, precisamos relacionar
com
. Vamos fatorar ou manipular a expressão para isolar
.
Passo 7
Observando que
está próximo de
, podemos limitar
para garantir que
não se afaste muito de
. Por exemplo, podemos escolher
, o que significa que
estará entre
e
. Isso ajuda a controlar o comportamento da função.
Passo 8
Com
, podemos estimar
de uma forma que dependa de
. Calculando ou usando desigualdades, chegamos à relação necessária para garantir que
.
Passo 9
Finalmente, combinando tudo, encontramos que para cada
, podemos escolher
, onde
é uma constante que vem da manipulação da expressão anterior.
Resposta
Portanto, formalmente,
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Exercícios relacionados
Se
é contínua,
e
, determine
Seja
. Se
e
é solução de
, então
?
A. F
B. V
A. F
B. V
A expressão abaixo é a equação de uma curva chamada cardioide:
Obtenha a equação da reta tangente no ponto
. Obtenha a equação da reta normal no mesmo ponto.
Considere o conjunto
com a operaçāo de multiplicaçāo
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo
. Justifque sua resposta!