Defina formalmente lim x -3 4 x^2-x+1=40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir formalmente o limite de quando se aproxima de , e esse limite é igual a . A matéria que estamos tratando aqui é o cálculo de limites, e vamos precisar usar a definição formal de limite, também conhecida como definição - .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que . Isso quer dizer que, conforme fica cada vez mais próximo de , o valor de fica cada vez mais próximo de .

Passo 3

A definição formal usa dois valores: (epsilon) e (delta). O representa o quão próximo queremos que esteja de , e o representa o quão próximo deve estar de para que isso aconteça.

Passo 4

Então, formalmente, queremos dizer que para todo , existe um tal que, se , então . Vamos quebrar isso:
  • : está dentro de uma distância de .
  • : o valor da função está dentro de uma distância de .

Passo 5

Agora, vamos simplificar |4x^2 - x + 1 - 40| = |4x^2 - x - 39| :
Queremos que isso seja menor que .

Passo 6

Para encontrar em termos de , precisamos relacionar com . Vamos fatorar ou manipular a expressão para isolar .

Passo 7

Observando que está próximo de , podemos limitar para garantir que não se afaste muito de . Por exemplo, podemos escolher , o que significa que estará entre e . Isso ajuda a controlar o comportamento da função.

Passo 8

Com , podemos estimar de uma forma que dependa de . Calculando ou usando desigualdades, chegamos à relação necessária para garantir que .

Passo 9

Finalmente, combinando tudo, encontramos que para cada , podemos escolher , onde é uma constante que vem da manipulação da expressão anterior.

Resposta

Portanto, formalmente, significa que para todo , existe um tal que, se , então .

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