A expressão abaixo é a equação de uma curva chamada cardioide:
x^2 + y^2 = (2*x^2 + 2*y^2 - x)^2
Obtenha a equação da reta tangente no ponto (0, 1/2). Obtenha a equação da reta normal no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação que representa uma curva chamada cardioide:
O nosso objetivo aqui é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto específico: (0, 1/2). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente a diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto (0, 1/2) realmente está na curva. Substituindo x = 0 e na equação da cardioide:
Calculando:
Como os dois lados da equação são iguais, o ponto está realmente na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando diferenciação implícita. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x:
Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, simplificamos a equação:
Como queremos avaliar no ponto (0, 1/2), substituímos x = 0 e :
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Com a derivada no ponto (0, 1/2), sabemos que a inclinação da reta tangente é 1. Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Onde e :

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será o negativo do inverso disso:
Usando novamente a fórmula da reta:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto (0, 1/2) é:
E a equação da reta normal no mesmo ponto é:

Exercícios relacionados