A expressão abaixo é a equação de uma curva chamada cardioide:
x^2 + y^2 = (2*x^2 + 2*y^2 - x)^2
Obtenha a equação da reta tangente no ponto (0, 1/2). Obtenha a equação da reta normal no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação que representa uma curva chamada cardioide:
O nosso objetivo aqui é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto específico: (0, 1/2). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente a diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto (0, 1/2) realmente está na curva. Substituindo x = 0 e na equação da cardioide:
Calculando:
Como os dois lados da equação são iguais, o ponto está realmente na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando diferenciação implícita. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x:
Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, simplificamos a equação:
Como queremos avaliar no ponto (0, 1/2), substituímos x = 0 e :
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Com a derivada no ponto (0, 1/2), sabemos que a inclinação da reta tangente é 1. Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Onde e :

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será o negativo do inverso disso:
Usando novamente a fórmula da reta:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto (0, 1/2) é:
E a equação da reta normal no mesmo ponto é:

Exercícios relacionados

Defina formalmente lim x -3 4 x^2-x+1=40
Se f^prime é contínua, f(2)=0 e f^prime(2)=-1, determine
lim x 0 f(2+3 x)+f(2+5 x)x
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} com a operaçāo de multiplicaçāo
a ⊙ b = resto da divisão de (a · b) por 7ã
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo odot. Justifque sua resposta!
Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de f.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
f(x) = ln(x) / raiz(x) f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 2, x ∈ [-2, 3] f(x) = 4x / (x^2 + 1)