A expressão abaixo é a equação de uma curva chamada cardioide:
Obtenha a equação da reta tangente no ponto
. Obtenha a equação da reta normal no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação que representa uma curva chamada cardioide:
O nosso objetivo aqui é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto específico:
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente a diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
realmente está na curva. Substituindo
e
na equação da cardioide:
Calculando:
Como os dois lados da equação são iguais, o ponto está realmente na curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
usando diferenciação implícita. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, simplificamos a equação:
Como queremos avaliar no ponto
, substituímos
e
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com a derivada
no ponto
, sabemos que a inclinação da reta tangente é 1. Agora, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Onde
e
:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será o negativo do inverso disso:
Usando novamente a fórmula da reta:
Resposta
A equação da reta tangente no ponto
é:
E a equação da reta normal no mesmo ponto é:
Exercícios relacionados
Defina formalmente
Se
é contínua,
e
, determine
Considere o conjunto
com a operaçāo de multiplicaçāo
(i) Determine o elemento neutro para a operaçāo
. Justifque sua resposta!
Nos problemas de esboço a seguir, use o roteiro:
a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores extremos de .
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores extremos de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de