Considere o conjunto de polinômios em . Expresse o polinômio como uma combinação linear dos polinômios de . Ou seja, encontre escalares tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um polinômio e um conjunto de polinômios que pertencem ao espaço dos polinômios de grau no máximo 3, ou seja, . A ideia é escrever como uma combinação linear dos polinômios de . Isso significa que queremos encontrar números reais tais que:
Para isso, vamos seguir alguns passos para descobrir esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir os termos e para facilitar a manipulação. Vamos lá:
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na equação original:
Vamos distribuir os coeficientes nos termos dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm o mesmo grau de :
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de e da combinação linear que montamos. Ou seja, para cada potência de , os coeficientes devem ser iguais.
O polinômio é:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela última equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Substituímos e na segunda equação:
Por fim, substituímos , e na primeira equação:
Resposta
Os escalares que satisfazem a combinação linear são: