Considere o conjunto de polinômios em . Expresse o polinômio como uma combinação linear dos polinômios de . Ou seja, encontre escalares tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um polinômio e um conjunto de polinômios que pertencem ao espaço dos polinômios de grau no máximo 3, ou seja, . A ideia é escrever como uma combinação linear dos polinômios de . Isso significa que queremos encontrar números reais tais que:
Para isso, vamos seguir alguns passos para descobrir esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os termos e para facilitar a manipulação. Vamos lá:

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na equação original:
Vamos distribuir os coeficientes nos termos dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm o mesmo grau de :

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de e da combinação linear que montamos. Ou seja, para cada potência de , os coeficientes devem ser iguais.
O polinômio é:
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela última equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Substituímos e na segunda equação:
Por fim, substituímos , e na primeira equação:

Resposta

Os escalares que satisfazem a combinação linear são:
Ou seja,

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação na forma para a reta que passa pelos pontos e
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
Considere os conjuntos de vetores e , onde
Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial de . Ou seja, demonstre que