Considere o conjunto S=1,1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 de polinômios em P3(R). Expresse o polinômio p(x)=1-x+x^2-x^3 como uma combinação linear dos polinômios de S. Ou seja, encontre escalares a, b, c, d in R tais que
p(x)=a cdot 1+b(1-x)+c(1-x)^2+d(1-x)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um polinômio p(x) = a cdot 1 + b(1-x) + c(1-x)^2 + d(1-x)^3 e um conjunto de polinômios que pertencem ao espaço dos polinômios de grau no máximo 3, ou seja, . A ideia é escrever como uma combinação linear dos polinômios de . Isso significa que queremos encontrar números reais tais que:
Para isso, vamos seguir alguns passos para descobrir esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os termos (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 e (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 para facilitar a manipulação. Vamos lá:

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na equação original:
p(x) = a cdot 1 + b(1 - x) + c(1 - 2x + x^2) + d(1 - 3x + 3x^2 - x^3)
Vamos distribuir os coeficientes p(x) = a + b - b x + c - 2c x + c x^2 + d - 3d x + 3d x^2 - d x^3 nos termos dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm o mesmo grau de p(x) = (a + b + c + d) + (-b - 2c - 3d)x + (c + 3d)x^2 + (-d)x^3 :

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de p(x) = 1cdot x^0 - 1cdot x^1 + 1cdot x^2 - 1cdot x^3 e da combinação linear que montamos. Ou seja, para cada potência de a + b + c + d = 1 (x^0) -b - 2c - 3d = -1 (x^1) c + 3d = 1 (x^2) -d = -1 (x^3) , os coeficientes devem ser iguais.
O polinômio é:
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela última equação:
-d = -1 implies d = 1
Agora, substituímos c + 3(1) = 1 implies c + 3 = 1 implies c = -2 na terceira equação:
-b - 2(-2) - 3(1) = -1 implies -b + 4 - 3 = -1 implies -b + 1 = -1 implies -b = -2 implies b = 2
Substituímos a + 2 + (-2) + 1 = 1 implies a + 1 = 1 implies a = 0 e na segunda equação:
Por fim, substituímos , e na primeira equação:

Resposta

Os escalares que satisfazem a combinação linear são:
a = 0, b = 2, c = -2, d = 1
Ou seja,
p(x) = 0 cdot 1 + 2(1 - x) - 2(1 - x)^2 + 1(1 - x)^3

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