Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial de . Ou seja, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores, e , no espaço tridimensional . A tarefa é mostrar que os spans desses conjuntos são iguais, ou seja, .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e dependência linear. Vamos precisar verificar se cada vetor de um conjunto pode ser expresso como combinação linear dos vetores do outro conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o span de um conjunto de vetores. O span de é o conjunto de todas as combinações lineares de e , ou seja:
O mesmo vale para .
Passo 3
Para mostrar que , vamos provar que cada vetor de está no span de e vice-versa.
Passo 4
Vamos começar verificando se está no span de . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, da segunda equação temos -1 = 2 + 3b Rightarrow 3b = -3 Rightarrow b = -1 . Substituindo na primeira: