Considere os conjuntos de vetores S1=u1, u2 e S2=v1, v2, onde
cc u1=(1,-1,2), & u2=(3,0,1) v1=(-1,-2,3), & v2=(3,3,-4)
Mostre que os conjuntos S1 e S2 geram o mesmo subespaço vetorial de R^3. Ou seja, demonstre que
span(S1)=span(S2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores, e , no espaço tridimensional . A tarefa é mostrar que os spans desses conjuntos são iguais, ou seja, .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e dependência linear. Vamos precisar verificar se cada vetor de um conjunto pode ser expresso como combinação linear dos vetores do outro conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o span de um conjunto de vetores. O span de span(S1) = au1 + bu2 mid a, b in R é o conjunto de todas as combinações lineares de e , ou seja:
O mesmo vale para .

Passo 3

Para mostrar que , vamos provar que cada vetor de está no span de e vice-versa.

Passo 4

Vamos começar verificando se v1 = au1 + bu2 está no span de (-1, -2, 3) = a(1, -1, 2) + b(3, 0, 1) . Ou seja, queremos encontrar escalares -1 = a + 3b -2 = -a 3 = 2a + b e tais que:
Substituindo os valores:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos -1 = 2 + 3b Rightarrow 3b = -3 Rightarrow b = -1 . Substituindo na primeira:
3 = 2(2) + (-1) Rightarrow 3 = 4 - 1 Rightarrow 3 = 3
Verificamos na terceira equação:
Portanto, , ou seja, está no span de .

Passo 6

Agora, vamos verificar se (3, 3, -4) = a(1, -1, 2) + b(3, 0, 1) também está no span de 3 = a + 3b 3 = -a -4 = 2a + b :
3 = -3 + 3b Rightarrow 3b = 6 Rightarrow b = 2
O sistema de equações é:
-4 = 2(-3) + 2 Rightarrow -4 = -6 + 2 Rightarrow -4 = -4
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Assim, , mostrando que também está no span de .

Passo 7

Agora, precisamos verificar o contrário: se os vetores de (1, -1, 2) = cv1 + dv2 estão no span de (1, -1, 2) = c(-1, -2, 3) + d(3, 3, -4) .
Primeiro, vamos ver se 1 = -c + 3d -1 = -2c + 3d 2 = 3c - 4d está no span de :
Que fica:
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema, da primeira equação:
1 = -c + 3d Rightarrow c = 3d - 1
Substituindo na segunda equação:
-1 = -2(3d - 1) + 3d Rightarrow -1 = -6d + 2 + 3d Rightarrow -1 = -3d + 2 Rightarrow -3d = -3 Rightarrow d = 1
Então, 2 = 3(2) - 4(1) Rightarrow 2 = 6 - 4 Rightarrow 2 = 2 . Verificando na terceira equação:
Portanto, , ou seja, está no span de .

Passo 9

Agora, vamos verificar se (3, 0, 1) = cv1 + dv2 está no span de (3, 0, 1) = c(-1, -2, 3) + d(3, 3, -4) :
3 = -c + 3d 0 = -2c + 3d 1 = 3c - 4d
Isso dá:
Sistema de equações:

Passo 10

Resolvendo o sistema, da segunda equação:
0 = -2c + 3d Rightarrow 2c = 3d Rightarrow c = 32d
Substituindo na primeira equação:
3 = -32d + 3d Rightarrow 3 = 32d Rightarrow d = 2
Então, 1 = 3(3) - 4(2) Rightarrow 1 = 9 - 8 Rightarrow 1 = 1 . Verificando na terceira equação:
Assim, , mostrando que está no span de .

Resposta

Conseguimos mostrar que cada vetor de está no span de e vice-versa. Portanto, .

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