Considere os conjuntos de vetores e , onde
Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial de . Ou seja, demonstre que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores, e , no espaço tridimensional . A tarefa é mostrar que os spans desses conjuntos são iguais, ou seja, .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e dependência linear. Vamos precisar verificar se cada vetor de um conjunto pode ser expresso como combinação linear dos vetores do outro conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o span de um conjunto de vetores. O span de é o conjunto de todas as combinações lineares de e , ou seja:
O mesmo vale para .

Passo 3

Para mostrar que , vamos provar que cada vetor de está no span de e vice-versa.

Passo 4

Vamos começar verificando se está no span de . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos . Substituindo na primeira:
Verificamos na terceira equação:
Portanto, , ou seja, está no span de .

Passo 6

Agora, vamos verificar se também está no span de :
O sistema de equações é:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Verificando na terceira equação:
Assim, , mostrando que também está no span de .

Passo 7

Agora, precisamos verificar o contrário: se os vetores de estão no span de .
Primeiro, vamos ver se está no span de :
Que fica:
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Verificando na terceira equação:
Portanto, , ou seja, está no span de .

Passo 9

Agora, vamos verificar se está no span de :
Isso dá:
Sistema de equações:

Passo 10

Resolvendo o sistema, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, . Verificando na terceira equação:
Assim, , mostrando que está no span de .

Resposta

Conseguimos mostrar que cada vetor de está no span de e vice-versa. Portanto, .

Exercícios relacionados

Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
Considere o conjunto de polinômios em . Expresse o polinômio como uma combinação linear dos polinômios de . Ou seja, encontre escalares tais que
Seja uma transformação linear. Mostre que se é um subespaço vetorial de então é um subespaço vetorial de .