Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo de uma transformação linear específica. A transformação é definida por , ou seja, ela pega um polinômio e retorna sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como trabalhar com derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo (ou “ker”) de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios em tal que . Isso significa que queremos encontrar todos os polinômios cuja derivada é zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar: quando a derivada de um polinômio é zero? A derivada de um polinômio é . Para que , todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 4

Então, se , o polinômio fica apenas com o termo constante . Isso quer dizer que os únicos polinômios em cuja derivada é zero são os polinômios constantes, ou seja, aqueles da forma .

Passo 5

Agora, para formar uma base para o núcleo, precisamos de um conjunto de polinômios constantes que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. O conjunto funciona perfeitamente, porque qualquer polinômio constante pode ser escrito como uma múltiplo de 1, e não há outros polinômios constantes além disso para adicionar na base.

Resposta

Uma base para o núcleo de é .

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