Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo de uma transformação linear específica. A transformação é
definida por
, ou seja, ela pega um polinômio e retorna sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como trabalhar com derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo (ou “ker”) de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
em
tal que
. Isso significa que queremos encontrar todos os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar: quando a derivada de um polinômio é zero? A derivada de um polinômio
é
. Para que
, todos os coeficientes
devem ser zero.
Passo 4
Então, se
, o polinômio
fica apenas com o termo constante
. Isso quer dizer que os únicos polinômios em
cuja derivada é zero são os polinômios constantes, ou seja, aqueles da forma
.
Passo 5
Agora, para formar uma base para o núcleo, precisamos de um conjunto de polinômios constantes que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. O conjunto
funciona perfeitamente, porque qualquer polinômio constante pode ser escrito como uma múltiplo de 1, e não há outros polinômios constantes além disso para adicionar na base.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
.
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Se
é linear com
e
quanto vale
?
Escreva as equações das seguintes parábolas: O vértice é
, o ponto
pertence à parábola e o eixo de simetria é o eixo-y.
Obtenha uma equação na forma
para a reta que passa pelos pontos
e
Considere o conjunto
de polinômios em
. Expresse o polinômio
como uma combinação linear dos polinômios de
. Ou seja, encontre escalares
tais que