Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear
definida por
, onde
é a derivada de
. Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3 e usando conceitos de transformações lineares e bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para esse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando
a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso,
leva um polinômio de
para sua derivada.
Passo 3
Vamos escrever um polinômio genérico de
:
onde
são coeficientes reais.
Passo 4
Calculando a derivada desse polinômio:
Observamos que a derivada de um polinômio de grau 3 resulta em um polinômio de grau no máximo 2.
Passo 5
Portanto, a imagem de
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 2. Isso significa que:
Passo 6
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço
.
Passo 7
Sabemos que uma base padrão para
é:
Esses três polinômios são linearmente independentes e qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 8
Assim, concluímos que uma base para a imagem da transformação linear
é:
Resposta
Uma base para a imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
de polinômios em
. Expresse o polinômio
como uma combinação linear dos polinômios de
. Ou seja, encontre escalares
tais que
Obtenha uma equação na forma
para a reta que passa pelos pontos
e
Considere os conjuntos de vetores
e
, onde
Mostre que os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço vetorial de
. Ou seja, demonstre que
Seja
uma transformação linear. Mostre que se
é um subespaço vetorial de
então
é um subespaço vetorial de
.