Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear definida por , onde é a derivada de . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3 e usando conceitos de transformações lineares e bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, leva um polinômio de para sua derivada.

Passo 3

Vamos escrever um polinômio genérico de :
onde são coeficientes reais.

Passo 4

Calculando a derivada desse polinômio:
Observamos que a derivada de um polinômio de grau 3 resulta em um polinômio de grau no máximo 2.

Passo 5

Portanto, a imagem de consiste em todos os polinômios de grau no máximo 2. Isso significa que:

Passo 6

Para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço .

Passo 7

Sabemos que uma base padrão para é:
Esses três polinômios são linearmente independentes e qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 8

Assim, concluímos que uma base para a imagem da transformação linear é:

Resposta

Uma base para a imagem de é .

Exercícios relacionados

Considere o conjunto de polinômios em . Expresse o polinômio como uma combinação linear dos polinômios de . Ou seja, encontre escalares tais que
Obtenha uma equação na forma para a reta que passa pelos pontos e
Considere os conjuntos de vetores e , onde
Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial de . Ou seja, demonstre que
Seja uma transformação linear. Mostre que se é um subespaço vetorial de então é um subespaço vetorial de .