Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
T: P3[x] longrightarrow P3[x] dada por T p=p^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear definida por , onde é a derivada de . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3 e usando conceitos de transformações lineares e bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, leva um polinômio de para sua derivada.

Passo 3

Vamos escrever um polinômio genérico de p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 :
onde são coeficientes reais.

Passo 4

Calculando a derivada desse polinômio:
T(p) = p'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2
Observamos que a derivada de um polinômio de grau 3 resulta em um polinômio de grau no máximo 2.

Passo 5

Portanto, a imagem de Im(T) = P2[x] consiste em todos os polinômios de grau no máximo 2. Isso significa que:

Passo 6

Para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço .

Passo 7

Sabemos que uma base padrão para 1, x, x^2 é:
Esses três polinômios são linearmente independentes e qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 8

Assim, concluímos que uma base para a imagem da transformação linear 1, x, x^2 é:

Resposta

Uma base para a imagem de é .

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