Considere o conjunto
das sequências
de números reais com as operações usuais, mais especificamente,
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, que consiste em todas as sequências infinitas de números reais, como
. As operações de soma (
) e multiplicação por escalar (
) são definidas normalmente, ou seja, somamos termo a termo e multiplicamos cada termo por um número real
. O objetivo é mostrar que esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial estão satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares (números reais, no nosso caso). Para que esse conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa obedecer a várias regras ou axiomas, como a associatividade e comutatividade da adição, existência de um vetor zero, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três sequências
,
e
em
, a soma
deve ser igual a
.
Vamos calcular ambas as expressões:
Como vemos, ambas são iguais. Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a comutatividade da adição. Queremos mostrar que para quaisquer duas sequências
e
em
,
.
Calculando:
Como a adição de números reais é comutativa (
), temos que
. Portanto, a comutatividade está satisfeita.
Passo 5
Vamos verificar a existência do vetor zero. Precisamos encontrar uma sequência
em
tal que, para qualquer sequência
,
.
Definimos
. Então:
Portanto, existe o vetor zero no conjunto.
Passo 6
Em seguida, vamos verificar a existência de inversos aditivos. Para cada sequência
, precisamos encontrar uma sequência
tal que
.
Calculando:
Assim, cada vetor tem seu inverso aditivo no conjunto.
Passo 7
Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Isso significa que, para qualquer escalar
e sequências
e
, temos
.
Calculando ambos os lados:
Como
para todo
, os dois lados são iguais. Portanto, a distributividade está satisfeita.
Passo 8
Também precisamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para quaisquer escalares
e
e uma sequência
, temos
.
Calculando:
Como
para todo
, os dois lados são iguais. Portanto, essa distributividade também está satisfeita.
Passo 9
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares com a multiplicação de escalares. Isso significa que para quaisquer escalares
e
e sequência
, temos
.
Calculando ambos os lados:
Ambos os lados são iguais, então a compatibilidade está verificada.
Passo 10
Por último, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar. Para qualquer sequência
, temos
, onde
é o elemento neutro da multiplicação nos números reais.
Calculando:
Assim, a propriedade da identidade da multiplicação por escalar está satisfeita.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial foram verificadas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
não é um espaço vetorial. (Na verdade o único axioma não satisfeito é
, isto é,
para todo
. Logo,
não é uma consequência dos demais axiomas.)
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
em que
.
Considere os vetores
e
. Se
e
, prove que
.