Considere o conjunto R^infty das sequências (a1, a2, ldots, an, ldots) de números reais com as operações usuais, mais especificamente, (a1, a2, ldots, an, ldots) oplus(b1, b2, ldots, bn, ldots)=(a1+b1, a2+b2, ldots, an+bn, ldots) e m odot(a1, a2, ldots, an, ldots)=(m a1, m a2, ldots, m an, ldots). Mostre que (R^infty, oplus, odot) é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto R^infty, que consiste em todas as sequências infinitas de números reais, como (a1, a2, ldots, an, ldots). As operações de soma ( oplus) e multiplicação por escalar ( odot) são definidas normalmente, ou seja, somamos termo a termo e multiplicamos cada termo por um número real m. O objetivo é mostrar que esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial estão satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares (números reais, no nosso caso). Para que esse conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa obedecer a várias regras ou axiomas, como a associatividade e comutatividade da adição, existência de um vetor zero, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três sequências u, v e w em R^infty, a soma (u oplus v) oplus w deve ser igual a u oplus (v oplus w).
Vamos calcular ambas as expressões:
(u oplus v) oplus w = (u1+v1, u2+v2, ldots) oplus (w1, w2, ldots) = (u1+v1+w1, u2+v2+w2, ldots)
u oplus (v oplus w) = u oplus (v1+w1, v2+w2, ldots) = (u1+v1+w1, u2+v2+w2, ldots)
Como vemos, ambas são iguais. Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a comutatividade da adição. Queremos mostrar que para quaisquer duas sequências u e v em R^infty, u oplus v = v oplus u.
Calculando:
u oplus v = (u1+v1, u2+v2, ldots)
v oplus u = (v1+u1, v2+u2, ldots)
Como a adição de números reais é comutativa ( ui + vi = vi + ui), temos que u oplus v = v oplus u. Portanto, a comutatividade está satisfeita.

Passo 5

Vamos verificar a existência do vetor zero. Precisamos encontrar uma sequência 0 em R^infty tal que, para qualquer sequência u, u oplus 0 = u.
Definimos 0 = (0, 0, 0, ldots). Então:
u oplus 0 = (u1+0, u2+0, ldots) = (u1, u2, ldots) = u
Portanto, existe o vetor zero no conjunto.

Passo 6

Em seguida, vamos verificar a existência de inversos aditivos. Para cada sequência u = (u1, u2, ldots), precisamos encontrar uma sequência -u = (-u1, -u2, ldots) tal que u oplus (-u) = 0.
Calculando:
u oplus (-u) = (u1 + (-u1), u2 + (-u2), ldots) = (0, 0, ldots) = 0
Assim, cada vetor tem seu inverso aditivo no conjunto.

Passo 7

Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Isso significa que, para qualquer escalar m e sequências u e v, temos m odot (u oplus v) = (m odot u) oplus (m odot v).
Calculando ambos os lados:
m odot (u oplus v) = m odot (u1+v1, u2+v2, ldots) = (m(u1+v1), m(u2+v2), ldots)
(m odot u) oplus (m odot v) = (mu1, mu2, ldots) oplus (mv1, mv2, ldots) = (mu1+mv1, mu2+mv2, ldots)
Como m(ui+vi) = mui + mvi para todo i, os dois lados são iguais. Portanto, a distributividade está satisfeita.

Passo 8

Também precisamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para quaisquer escalares m e n e uma sequência u, temos (m + n) odot u = (m odot u) oplus (n odot u).
Calculando:
(m + n) odot u = ((m + n)u1, (m + n)u2, ldots)
(m odot u) oplus (n odot u) = (mu1, mu2, ldots) oplus (nu1, nu2, ldots) = (mu1 + nu1, mu2 + nu2, ldots)
Como (m + n)ui = m ui + n ui para todo i, os dois lados são iguais. Portanto, essa distributividade também está satisfeita.

Passo 9

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares com a multiplicação de escalares. Isso significa que para quaisquer escalares m e n e sequência u, temos m odot (n odot u) = (m n) odot u.
Calculando ambos os lados:
m odot (n odot u) = m odot (n u1, n u2, ldots) = (m(n u1), m(n u2), ldots) = (m n u1, m n u2, ldots)
(m n) odot u = (m n u1, m n u2, ldots)
Ambos os lados são iguais, então a compatibilidade está verificada.

Passo 10

Por último, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar. Para qualquer sequência u, temos 1 odot u = u, onde 1 é o elemento neutro da multiplicação nos números reais.
Calculando:
1 odot u = (1 cdot u1, 1 cdot u2, ldots) = (u1, u2, ldots) = u
Assim, a propriedade da identidade da multiplicação por escalar está satisfeita.

Resposta

Como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial foram verificadas, concluímos que (R^infty, oplus, odot) é de fato um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+y2, y1+x2) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).
Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1, 0). Mostre que (V, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (Na verdade o único axioma não satisfeito é M4, isto é, 1 u=u para todo u in V. Logo, M4 não é uma consequência dos demais axiomas.)
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y) in R^2 mid y-a x=0 em que a in R.
Considere os vetores u1=(1,2,-1,3), u2=(2,4,1,-2), u3=(3,6,3,-7), v1=(1,2,-4,11) e v2=(2,4,-5,14). Se U=>=r(u1, u2, u3) e V=>=r(v1, v2), prove que U=V.