Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1, 0). Mostre que (V, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (Na verdade o único axioma não satisfeito é M4, isto é, 1 u=u para todo u in V. Logo, M4 não é uma consequência dos demais axiomas.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que um conjunto específico, , com certas operações de adição e multiplicação por escalar, não forma um espaço vetorial. A matéria que a gente vai mexer aqui é a de espaços vetoriais, que é uma parte fundamental da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são cumpridas com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo definido. O conjunto é o conjunto de todos os pares de números reais, tipo . As operações que nos são dadas são:
  • Adição ( ): Quando somamos dois vetores e , fazemos . Isso parece normal, né?
  • Multiplicação por escalar ( ): Quando multiplicamos um escalar por um vetor , o resultado é . Olha só, só o primeiro componente é multiplicado pelo escalar e o segundo fica sempre zero!

Passo 3

Agora, para saber se é um espaço vetorial, a gente precisa verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas. Há vários axiomas, como a comutatividade da adição, existência do elemento neutro, distribuição da multiplicação por escalar, entre outros. No caso, o enunciado já dá uma pista: o único axioma que não é satisfeito é o Axioma da Multiplicação por 1 (M4), que diz que multiplicar qualquer vetor por 1 deve resultar no próprio vetor, ou seja, para todo .

Passo 4

Vamos verificar o Axioma M4 com as operações definidas:
Pegue um vetor qualquer 1 odot (x, y) = (1 times x, 0) = (x, 0) em .
Aplicando a multiplicação por 1:
Agora, comparando com o próprio vetor , vemos que só será igual a se y = 0. Mas isso não é verdade para qualquer vetor em , já que pode ser qualquer número real. Portanto, não é igual a em geral, o que viola o axioma M4.

Resposta

Portanto, não é um espaço vetorial porque não satisfaz o axioma de que multiplicar um vetor por 1 resulta no pr��prio vetor.

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Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1+5(m-1), m y1). Mostre que (V, oplus, odot) é um espaço vetorial.
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