Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, que representa todos os pares de números reais. As operações definidas são:
- Soma personalizada:
- Multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que, com essas operações,
não é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitos. Se encontrarmos pelo menos um axioma que não é cumprido, concluímos que não é um espaço vetorial.
Passo 2
Vamos relembrar os axiomas básicos de um espaço vetorial. Alguns dos principais são:
- Comutatividade da soma:
- Associatividade da soma:
- Elemento neutro da soma: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso: Para cada vetor
, existe tal que - Distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores:
Vamos verificar um desses axiomas para mostrar que não são todos satisfeitos com as operações dadas.
Passo 3
Vamos verificar o axioma da comutatividade da soma. Segundo esse axioma, a ordem dos vetores na soma não altera o resultado:
.
Vamos escolher dois vetores quaisquer em
:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Vamos comparar os resultados:
Para que a soma seja comutativa, precisamos que:
Isso implica que:
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro para todos os
. Por exemplo, se escolhermos
e
:
Neste caso, a soma foi comutativa. Mas escolha
e
:
Aqui,
, mostrando que a soma não é comutativa.
Resposta
Como a operação de soma
não é comutativa, o conjunto
não é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
não é um espaço vetorial. (Na verdade o único axioma não satisfeito é
, isto é,
para todo
. Logo,
não é uma consequência dos demais axiomas.)
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Considere o conjunto
das sequências
de números reais com as operações usuais, mais especificamente,
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
em que
.