Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+y2, y1+x2) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto R^2, que representa todos os pares de números reais. As operações definidas são:
  • Soma personalizada: (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + y2, y1 + x2)
  • Multiplicação por escalar: m odot (x1, y1) = (m x1, m y1)
Queremos mostrar que, com essas operações, (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitos. Se encontrarmos pelo menos um axioma que não é cumprido, concluímos que não é um espaço vetorial.

Passo 2

Vamos relembrar os axiomas básicos de um espaço vetorial. Alguns dos principais são:
  1. Comutatividade da soma: u + v = v + u
  2. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Elemento neutro da soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Elemento inverso: Para cada vetor u, existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores: m odot (u oplus v) = m odot u oplus m odot v
Vamos verificar um desses axiomas para mostrar que não são todos satisfeitos com as operações dadas.

Passo 3

Vamos verificar o axioma da comutatividade da soma. Segundo esse axioma, a ordem dos vetores na soma não altera o resultado: u oplus v = v oplus u.
Vamos escolher dois vetores quaisquer em R^2:
  • u = (x1, y1)
  • v = (x2, y2)
Calculando u oplus v:
u oplus v = (x1 + y2, y1 + x2)
Agora, calculando v oplus u:
v oplus u = (x2 + y1, y2 + x1)

Passo 4

Vamos comparar os resultados:
u oplus v = (x1 + y2, y1 + x2)
v oplus u = (x2 + y1, y2 + x1)
Para que a soma seja comutativa, precisamos que:
x1 + y2 = x2 + y1 e y1 + x2 = y2 + x1
Isso implica que:
x1 + y2 = x2 + y1
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro para todos os x1, x2, y1, y2 in R. Por exemplo, se escolhermos u = (1, 2) e v = (3, 4):
u oplus v = (1 + 4, 2 + 3) = (5, 5)
v oplus u = (3 + 2, 4 + 1) = (5, 5)
Neste caso, a soma foi comutativa. Mas escolha u = (1, 2) e v = (3, 1):
u oplus v = (1 + 1, 2 + 3) = (2, 5)
v oplus u = (3 + 2, 1 + 1) = (5, 2)
Aqui, (2, 5) neq (5, 2), mostrando que a soma não é comutativa.

Resposta

Como a operação de soma oplus não é comutativa, o conjunto (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial.

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