Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita da forma . O conteúdo aqui é sobre séries infinitas e vamos precisar usar critérios de convergência para descobrir se essa série soma algo finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para facilitar a análise. Olha só:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é . A gente sabe que é uma função que cresce exponencialmente com , ou seja, cresce muito rápido. Já o denominador cresce polinomialmente, ou seja, mais devagar comparado com a exponencial.

Passo 4

Para verificar se a série converge, podemos usar o teste da comparação ou observar o comportamento do limite do termo geral quando tende ao infinito.
Vamos simplificar:
Como cresce muito mais rápido que , o limite vai para infinito:

Passo 5

Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral não é zero, a série não converge. Nesse caso, como o limite é infinito, a série diverge.

Resposta

A série não converge.

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Mostre que essa é uma relação de ordem em .
Considere o conjunto e a relação em dada por é; Mostre que essa é uma relação de ordem em ;
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