Considere o conjunto
S=[ll a & b c & d ] in M2 times 2 rvert, a+b=0 ; c+d=0
Determine uma base e a dimensão de S.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de um conjunto de matrizes 2x2, chamado . Esse conjunto é formado por todas as matrizes onde a soma dos elementos da primeira linha é igual a zero e a soma dos elementos da segunda linha também é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base de um espaço vetorial e como determinar a dimensão desse espaço. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que define as matrizes em a & b c & d . Cada matriz em a & -a c & -c tem a forma:
Com as condições e . Isso significa que podemos expressar em termos de e em termos de :
Então, qualquer matriz em pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos ver como podemos representar essas matrizes de forma mais simples. Podemos fatorar a & -a c & -c = a 1 & -1 0 & 0 + c 0 & 0 1 & -1 e 1 & -1 0 & 0 e escrever a matriz como uma combinação linear de duas matrizes básicas:
0 & 0 1 & -1
Aqui, as matrizes e são os vetores base que combinados, com os coeficientes e , geram qualquer matriz em .

Passo 4

Para ter certeza de que essas duas matrizes formam uma base, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Isso significa que não dá pra conseguir uma dessas matrizes multiplicando a outra por algum número. Olhando para elas, vemos que elas têm zeros em posições diferentes e não podemos obter uma a partir da outra, então elas são realmente independentes.

Passo 5

Sabendo que encontramos duas matrizes que formam uma base para , a dimensão de é simplesmente o número de vetores na base. Nesse caso, temos duas matrizes na base, então a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para 1 & -1 0 & 0 e 0 & 0 1 & -1 é formada pelas matrizes
e a dimensão de é 2.

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