Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que é ortogonal a .
Passo 1
Então, temos dois conjuntos e no espaço tridimensional . O objetivo é provar que é ortogonal a . Para isso, vamos utilizar o conceito de ortogonalidade de conjuntos vetoriais, que envolve o produto escalar entre vetores de cada conjunto sendo igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal a . Isso quer dizer que todo vetor em é perpendicular a todo vetor em . Matemáticamente, para quaisquer vetores e , deve valer que .
Passo 3
Vamos definir um vetor genérico em . Como e , podemos escrever , onde é um número real.
Passo 4
Agora, definimos um vetor genérico em . Como , podemos escrever , onde e são números reais.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
O resultado é zero, independentemente dos valores de , e .
Resposta
Portanto, é ortogonal a porque o produto escalar de quaisquer vetores desses conjuntos é sempre zero.