Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que
é ortogonal a
.
Prove que
Passo 1
Então, temos dois conjuntos
e
no espaço tridimensional
. O objetivo é provar que
é ortogonal a
. Para isso, vamos utilizar o conceito de ortogonalidade de conjuntos vetoriais, que envolve o produto escalar entre vetores de cada conjunto sendo igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser ortogonal a
. Isso quer dizer que todo vetor em
é perpendicular a todo vetor em
. Matemáticamente, para quaisquer vetores
e
, deve valer que
.
Passo 3
Vamos definir um vetor genérico em
. Como
e
, podemos escrever
, onde
é um número real.
Passo 4
Agora, definimos um vetor genérico em
. Como
, podemos escrever
, onde
e
são números reais.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
O resultado é zero, independentemente dos valores de
,
e
.
Resposta
Portanto,
é ortogonal a
porque o produto escalar de quaisquer vetores desses conjuntos é sempre zero.