Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que é ortogonal a .

Passo 1

Então, temos dois conjuntos e no espaço tridimensional . O objetivo é provar que é ortogonal a . Para isso, vamos utilizar o conceito de ortogonalidade de conjuntos vetoriais, que envolve o produto escalar entre vetores de cada conjunto sendo igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal a . Isso quer dizer que todo vetor em é perpendicular a todo vetor em . Matemáticamente, para quaisquer vetores e , deve valer que .

Passo 3

Vamos definir um vetor genérico em . Como e , podemos escrever , onde é um número real.

Passo 4

Agora, definimos um vetor genérico em . Como , podemos escrever , onde e são números reais.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
O resultado é zero, independentemente dos valores de , e .

Resposta

Portanto, é ortogonal a porque o produto escalar de quaisquer vetores desses conjuntos é sempre zero.

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Sejam , e .
Determine uma base de S.
Considere o conjunto
Determine uma base e a dimensão de S.
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
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