Sejam S1=(x, y, z) ; x=y, z=0 e S2=(x, y, z) ; x=-y dois subconjuntos do R^3.
Prove que S1 é ortogonal a S2.

Passo 1

Então, temos dois conjuntos e no espaço tridimensional . O objetivo é provar que é ortogonal a . Para isso, vamos utilizar o conceito de ortogonalidade de conjuntos vetoriais, que envolve o produto escalar entre vetores de cada conjunto sendo igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal a . Isso quer dizer que todo vetor em é perpendicular a todo vetor em . Matemáticamente, para quaisquer vetores e , deve valer que .

Passo 3

Vamos definir um vetor genérico em . Como e , podemos escrever , onde é um número real.

Passo 4

Agora, definimos um vetor genérico em . Como , podemos escrever , onde e são números reais.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (a)(b) + (a)(-b) + (0)(c) = ab - ab + 0 = 0 :
O resultado é zero, independentemente dos valores de , e .

Resposta

Portanto, é ortogonal a porque o produto escalar de quaisquer vetores desses conjuntos é sempre zero.

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