Seja S: R^3 R^3 o operador linear sobre R^3 tal que [S]=[rrr0 & 1 & -2 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0].
Obtenha S(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear representado por uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a imagem de um vetor qualquer através desse operador, ou seja, descobrir . Para isso, vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para aplicar um operador linear representado por uma matriz a um vetor, a gente faz a multiplicação da matriz pelo vetor. Aqui, a matriz x y z é uma matriz e o vetor pode ser representado como uma coluna:

Passo 3

Vamos escrever a multiplicação:

[
[S] \cdot
[S] cdot x y z = 0 & 1 & -2 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 cdot x y z


\cdot

]

Passo 4

Agora, vamos realizar a multiplicação linha por coluna. Cada componente do resultado será a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
  • Primeira componente:
0 cdot x + 1 cdot y + (-2) cdot z = 0 + y - 2z = y - 2z
  • Segunda componente:
1 cdot x + (-1) cdot y + 1 cdot z = x - y + z
  • Terceira componente:
0 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Juntando tudo, o resultado da multiplicação é um novo vetor em S(x, y, z) = y - 2z x - y + z 0 :

Resposta

Portanto, a imagem do vetor S(x, y, z) = (y - 2z, x - y + z, 0) pelo operador linear é:

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