Seja o operador linear sobre tal que .
Obtenha S(x, y, z).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear representado por uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a imagem de um vetor qualquer através desse operador, ou seja, descobrir . Para isso, vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes por vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para aplicar um operador linear representado por uma matriz a um vetor, a gente faz a multiplicação da matriz pelo vetor. Aqui, a matriz x y z é uma matriz e o vetor pode ser representado como uma coluna:
Passo 3
Vamos escrever a multiplicação:
[
[S] \cdot [S] cdot x y z = 0 & 1 & -2 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 cdot x y z
\cdot
]
Passo 4
Agora, vamos realizar a multiplicação linha por coluna. Cada componente do resultado será a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
Primeira componente:
0 cdot x + 1 cdot y + (-2) cdot z = 0 + y - 2z = y - 2z
Segunda componente:
1 cdot x + (-1) cdot y + 1 cdot z = x - y + z
Terceira componente:
0 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = 0 + 0 + 0 = 0
Passo 5
Juntando tudo, o resultado da multiplicação é um novo vetor em S(x, y, z) = y - 2z x - y + z 0 :
Resposta
Portanto, a imagem do vetor S(x, y, z) = (y - 2z, x - y + z, 0) pelo operador linear é: