Seja o operador linear sobre tal que .
Obtenha .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear representado por uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a imagem de um vetor qualquer através desse operador, ou seja, descobrir . Para isso, vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para aplicar um operador linear representado por uma matriz a um vetor, a gente faz a multiplicação da matriz pelo vetor. Aqui, a matriz é uma matriz e o vetor pode ser representado como uma coluna:

Passo 3

Vamos escrever a multiplicação:

[
[S] \cdot


\cdot

]

Passo 4

Agora, vamos realizar a multiplicação linha por coluna. Cada componente do resultado será a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:

Passo 5

Juntando tudo, o resultado da multiplicação é um novo vetor em :

Resposta

Portanto, a imagem do vetor pelo operador linear é:

Exercícios relacionados

Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:
Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha a matriz de em relação à base ordenada .
Os vetores formam uma base para o ? Justifique.
Considere o conjunto
Determine uma base e a dimensão de S.