Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A pergunta é: os vetores , e formam uma base para o ? Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma base e como verificar se esses vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional. Então, para saber se nossos vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, a gente monta uma matriz com esses vetores como colunas e calcula o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
Onde
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 7
Agora, somando tudo:
Passo 8
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim, os vetores , e formam uma base para o , pois eles são linearmente independentes.