Os vetores formam uma base para o R^3 ? Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A pergunta é: os vetores 0 1 -2, 5 -7 4 e 6 3 5 formam uma base para o ? Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma base e como verificar se esses vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional. Então, para saber se nossos vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, a gente monta uma matriz com esses vetores como colunas e calcula o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz A = 0 & 5 & 6 1 & -7 & 3 -2 & 4 & 5 com os vetores dados:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 0 times ((-7)(5) - (3)(4)) - 5 times (1 times 5 - 3 times (-2)) + 6 times (1 times 4 - (-7) times (-2))
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 7
Agora, somando tudo:
det(A) = 0 - 55 - 60 = -115
Passo 8
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim, os vetores 0 1 -2, 5 -7 4 e 6 3 5 formam uma base para o , pois eles são linearmente independentes.