Os vetores formam uma base para o ? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A pergunta é: os vetores , e formam uma base para o ? Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma base e como verificar se esses vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional. Então, para saber se nossos vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, a gente monta uma matriz com esses vetores como colunas e calcula o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
Onde
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:

Passo 7

Agora, somando tudo:

Passo 8

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores , e formam uma base para o , pois eles são linearmente independentes.

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Seja o operador linear sobre tal que .
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