Os vetores [r0 1 -2],[r5 -7 4],[l6 3 5] formam uma base para o R^3 ? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. A pergunta é: os vetores 0 1 -2, 5 -7 4 e 6 3 5 formam uma base para o ? Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma base e como verificar se esses vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional. Então, para saber se nossos vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, a gente monta uma matriz com esses vetores como colunas e calcula o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = 0 & 5 & 6 1 & -7 & 3 -2 & 4 & 5 com os vetores dados:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 0 times ((-7)(5) - (3)(4)) - 5 times (1 times 5 - 3 times (-2)) + 6 times (1 times 4 - (-7) times (-2))

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:

Passo 7

Agora, somando tudo:
det(A) = 0 - 55 - 60 = -115

Passo 8

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores 0 1 -2, 5 -7 4 e 6 3 5 formam uma base para o , pois eles são linearmente independentes.

Exercícios relacionados