Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base do conjunto que é formado pelos vetores , e . Estamos lidando com o tema de bases de espaços vetoriais, especificamente no . Para resolver isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Se não, vamos encontrar uma combinação linear que nos dê uma base menor e independente.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz para facilitar os cálculos. A matriz será:
Nosso objetivo é verificar se essas linhas (vetores) são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de escalonamento para trazer a matriz para a forma escalonada e verificar o posto da matriz.
Passo 3
Observando a matriz, note que todas as primeiras entradas das linhas são zero. Isso nos indica que podemos olhar para as colunas seguintes para encontrar pivôs (elementos não nulos que servem como referência).
Vamos começar pelo segundo elemento da primeira linha, que é 2. Esse será o nosso primeiro pivô.
Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna. Para a segunda linha, já está zero. Para a terceira linha, temos 4. Precisamos subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha para zerar esse 4:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda coluna onde o segundo pivô seria. Porém, a segunda coluna na segunda linha é zero, precisamos encontrar um pivô na terceira coluna da segunda linha, que é 3.
Esse 3 será o nosso segundo pivô. Agora, vamos zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna, que é -3 na terceira linha. Para isso, somamos a segunda linha com a terceira linha:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Após o escalonamento, vemos que temos dois pivôs: um na segunda coluna da primeira linha e outro na terceira coluna da segunda linha. Isso significa que o posto da matriz é 2, ou seja, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, precisamos remover um vetor para obter uma base de .
Vamos escolher os vetores correspondentes aos pivôs como nossa base. Esses são os primeiros e segundos vetores originais: