Considere o conjunto
.
(a)
é um subespaço vetorial de
? Prove.
(b) Determine uma base para
.
© Qual a dimensão de
?
(a)
(b) Determine uma base para
© Qual a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um conjunto
. Vamos verificar se ele é um subespaço vetorial, encontrar uma base para ele e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, base e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar três coisas:
- O vetor zero está em
? - Fechamento sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também está? - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele também está?
Passo 3
1. O vetor zero está em
?
Vamos substituir
,
, e
na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
2. Fechamento sob adição:
Se temos dois vetores
e
em
, então:
A soma
deve satisfazer:
Então, a soma está em
.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se
está em
, para qualquer escalar
,
deve estar em
:
Portanto,
está em
.
Passo 4
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma base para
. Sabemos que
é definido por
, então podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para
:
Podemos parametrizar os vetores de
usando
e
como parâmetros livres:
Assim, os vetores
e
formam uma base para
, já que são linearmente independentes e geram todos os vetores de
.
Passo 6
Por fim, para determinar a dimensão de
, contamos quantos vetores há na base. Como a base que encontramos tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Resposta
(a) Sim,
é um subespaço vetorial de
.
(b) Uma base para
é
.
© A dimensão de
é 2.