Considere o conjunto .
(a) é um subespaço vetorial de ? Prove.
(b) Determine uma base para .
© Qual a dimensão de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um conjunto . Vamos verificar se ele é um subespaço vetorial, encontrar uma base para ele e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em ?
  2. Fechamento sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está?

Passo 3

1. O vetor zero está em ?
Vamos substituir , , e na equação :
Então, o vetor zero está em .
2. Fechamento sob adição:
Se temos dois vetores e em , então:
A soma deve satisfazer:
Então, a soma está em .
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se está em , para qualquer escalar , deve estar em :
Portanto, está em .

Passo 4

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma base para . Sabemos que é definido por , então podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para :
Podemos parametrizar os vetores de usando e como parâmetros livres:
Assim, os vetores e formam uma base para , já que são linearmente independentes e geram todos os vetores de .

Passo 6

Por fim, para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores há na base. Como a base que encontramos tem 2 vetores, a dimensão de é 2.

Resposta

(a) Sim, é um subespaço vetorial de .
(b) Uma base para é .
© A dimensão de é 2.

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