Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 2 x^2-6 y^2-3 z^2-24 y+6 z-27=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação e precisamos identificar que tipo de superfície ela representa. Para fazer isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como completar o quadrado e analisar os coeficientes das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação organizando os termos semelhantes:
2x^2 - 6y^2 - 24y - 3z^2 + 6z - 27 = 0

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de cada variável para facilitar o processo de completar o quadrado:
2x^2 + (-6y^2 - 24y) + (-3z^2 + 6z) - 27 = 0

Passo 4

Vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
2x^2 - 6(y^2 + 4y) - 3(z^2 - 2z) - 27 = 0

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para as variáveis y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4 e z^2 - 2z = z^2 - 2z + 1 - 1 = (z - 1)^2 - 1 .
Para :
Para :

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
2x^2 - 6[(y + 2)^2 - 4] - 3[(z - 1)^2 - 1] - 27 = 0

Passo 7

Distribuindo os coeficientes:
2x^2 - 6(y + 2)^2 + 24 - 3(z - 1)^2 + 3 - 27 = 0

Passo 8

Simplificando os constantes:
2x^2 - 6(y + 2)^2 - 3(z - 1)^2 + 0 = 0
2x^2 - 6(y + 2)^2 - 3(z - 1)^2 = 0

Passo 9

Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
23x^2 - 2(y + 2)^2 - (z - 1)^2 = 0

Passo 10

Rearranjando para a forma padrão:
x^232 - (y + 2)^20.5 - (z - 1)^21 = 0

Passo 11

Observando a equação final, percebemos que temos uma diferença de termos quadráticos com sinais diferentes, indicando que a superfície é um hiperbolóide de duas folhas.

Resposta

A equação representa um hiperbolóide de duas folhas.

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