Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes (ou valores próprios) e os vetores característicos (ou vetores próprios) da matriz . Depois, vamos diagonalizar a matriz e descobrir o sinal da forma quadrática .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente valores próprios, vetores próprios, diagonalização de matrizes e formas quadráticas.
O que vamos precisar: Entender como calcular valores e vetores próprios, saber o que é uma matriz diagonal, e como analisar o sinal de uma forma quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Como é uma matriz diagonal, os valores próprios são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Os valores próprios são 7, 3 e 3.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para uma matriz diagonal, os vetores próprios são os vetores das colunas da matriz identidade, já que cada vetor próprio terá um 1 na posição correspondente ao valor próprio e 0 nas outras posições.
Para :
Para :
Passo 4
Com os valores próprios e os vetores próprios em mãos, podemos diagonalizar a matriz . A diagonalização consiste em expressar como , onde é a matriz diagonal dos valores próprios e é a matriz formada pelos vetores próprios.
Como já é uma matriz diagonal, é a matriz identidade e . Portanto, a matriz já está diagonalizada:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o sinal da forma quadrática. A forma quadrática é dada por:
Como todos os coeficientes (7, 3 e 3) são positivos, a forma quadrática é definida positiva. Isso significa que é sempre positiva para qualquer vetor diferente do vetor nulo.
Resposta
As raízes da matriz são 7, 3 e 3. Os vetores característicos correspondentes são , e . A matriz já está diagonalizada e a forma quadrática é definida positiva.