Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz B abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática X^prime B X.
B=[lll 7 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes (ou valores próprios) e os vetores característicos (ou vetores próprios) da matriz . Depois, vamos diagonalizar a matriz e descobrir o sinal da forma quadrática .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente valores próprios, vetores próprios, diagonalização de matrizes e formas quadráticas.
O que vamos precisar: Entender como calcular valores e vetores próprios, saber o que é uma matriz diagonal, e como analisar o sinal de uma forma quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz B = 7 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 . Como é uma matriz diagonal, os valores próprios são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Os valores próprios são 7, 3 e 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para uma matriz diagonal, os vetores próprios são os vetores das colunas da matriz identidade, já que cada vetor próprio terá um 1 na posição correspondente ao valor próprio e 0 nas outras posições.
  • Para v1 = 1 0 0 :
v2 = 0 1 0 , v3 = 0 0 1
  • Para :

Passo 4

Com os valores próprios e os vetores próprios em mãos, podemos diagonalizar a matriz B = I cdot B cdot I^-1 = B . A diagonalização consiste em expressar como , onde é a matriz diagonal dos valores próprios e é a matriz formada pelos vetores próprios.
Como já é uma matriz diagonal, é a matriz identidade e . Portanto, a matriz já está diagonalizada:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o sinal da forma quadrática X^prime B X = 7x1^2 + 3x2^2 + 3x3^2 . A forma quadrática é dada por:
Como todos os coeficientes (7, 3 e 3) são positivos, a forma quadrática é definida positiva. Isso significa que é sempre positiva para qualquer vetor diferente do vetor nulo.

Resposta

As raízes da matriz 1 0 0 são 7, 3 e 3. Os vetores característicos correspondentes são 0 1 0 , 0 0 1 e . A matriz já está diagonalizada e a forma quadrática é definida positiva.

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