Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar o vértice;

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre parábolas. A questão é: dada a equação da parábola , precisamos encontrar o vértice dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a forma padrão da equação da parábola e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos colocar os termos com y^2 + 6y = 8x - 17 de um lado e os termos com do outro:

Passo 3

Agora, para identificar o vértice, precisamos completar o quadrado nos termos de y^2 + 6y = 8x - 17 . Completar o quadrado ajuda a reescrever a equação de uma forma que nos mostra diretamente as coordenadas do vértice.
Primeiro, vamos isolar os termos com :

Passo 4

Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de ( 62 )^2 = 9 , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
y^2 + 6y + 9 - 9 = 8x - 17
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
(y + 3)^2 - 9 = 8x - 17

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo completado:
(y + 3)^2 = 8x - 8
(y + 3)^2 = 8(x - 1)

Passo 6

Comparando essa forma com a forma padrão da equação da parábola (y + 3)^2 = 8(x - 1) , podemos identificar os valores de e , que correspondem às coordenadas do vértice .
No nosso caso:
Então, e .

Resposta

O vértice da parábola é .

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