Considere o conjunto [V]=(-1,3,-1),(1,-2,4). Determine a) G(V), isto é, o subespaço gerado por V;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar , que é o subespaço gerado pelo conjunto de vetores . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como formar combinações lineares dos vetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço u = a cdot (-1, 3, -1) + b cdot (1, -2, 4) é formado por todas as possíveis combinações lineares dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Onde e são escalares (números reais).

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear passo a passo. Multiplicamos cada vetor por seus respectivos escalares e somamos os resultados:
u = a cdot (-1, 3, -1) + b cdot (1, -2, 4)
u = (-a, 3a, -a) + (b, -2b, 4b)
u = (-a + b, 3a - 2b, -a + 4b)

Passo 4

Agora, podemos escrever x = -a + b como o conjunto de todos os vetores y = 3a - 2b que satisfazem as seguintes equações:
z = -a + 4b
Essas equações representam todas as combinações lineares possíveis dos vetores de .

Passo 5

Para expressar G(V) = , (-a + b, 3a - 2b, -a + 4b) ,g|, a, b in R , de forma mais compacta, podemos usar a forma vetorial:
Isso significa que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos variando os valores de e nos números reais.

Resposta

Portanto, o subespaço gerado por G(V) = , (-a + b, 3a - 2b, -a + 4b) ,mid, a, b in R , é:

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