Considere o conjunto . Determine a) , isto é, o subespaço gerado por ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar , que é o subespaço gerado pelo conjunto de vetores . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como formar combinações lineares dos vetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço é formado por todas as possíveis combinações lineares dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Onde e são escalares (números reais).

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear passo a passo. Multiplicamos cada vetor por seus respectivos escalares e somamos os resultados:

Passo 4

Agora, podemos escrever como o conjunto de todos os vetores que satisfazem as seguintes equações:
Essas equações representam todas as combinações lineares possíveis dos vetores de .

Passo 5

Para expressar de forma mais compacta, podemos usar a forma vetorial:
Isso significa que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos variando os valores de e nos números reais.

Resposta

Portanto, o subespaço gerado por é:

Exercícios relacionados

Sabendo que e , calcular
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores são linearmente dependentes, sempre existe tal que .