Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: precisa conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto contém o vetor nulo. O vetor nulo em é . Substituindo na condição de , temos . Então, para , . Portanto, está em .
Passo 3
Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e . Somando eles, temos . Para que seja fechado sob adição, o segundo componente deveria ser igual a . Mas , que não é igual a , a menos que . Logo, não é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos ver também se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer em e multiplicamos por um escalar , resultando em . Para estar em , o segundo componente deve ser igual a . Mas temos diferente de , a menos que ou . Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de .