Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: precisa conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto contém o vetor nulo. O vetor nulo em é . Substituindo na condição de , temos . Então, para , . Portanto, está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e . Somando eles, temos . Para que seja fechado sob adição, o segundo componente deveria ser igual a . Mas , que não é igual a , a menos que . Logo, não é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos ver também se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer em e multiplicamos por um escalar , resultando em . Para estar em , o segundo componente deve ser igual a . Mas temos diferente de , a menos que ou . Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Considere o conjunto . Determine a) , isto é, o subespaço gerado por ;
Sabendo que e , calcular
Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores são linearmente dependentes, sempre existe tal que .
Seja e o conjunto . Determine uma base do que possua dois elementos de .