Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: precisa conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém o vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Substituindo na condição de
, temos
. Então, para
,
. Portanto,
está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
e
. Somando eles, temos
. Para que
seja fechado sob adição, o segundo componente deveria ser igual a
. Mas
, que não é igual a
, a menos que
. Logo,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos ver também se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer
em
e multiplicamos por um escalar
, resultando em
. Para estar em
, o segundo componente deve ser igual a
. Mas temos
diferente de
, a menos que
ou
. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de
.