Considere o conjunto do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma: . Prove que com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto com duas operações: a adição usual em e uma multiplicação por escalar definida como . Precisamos provar que esse conjunto , com essas operações, não é um espaço vetorial sobre os números reais. Para isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se todas as condições são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, como os números reais , é um conjunto de vetores que, juntamente com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, satisfazem oito axiomas. Esses axiomas garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira consistente.

Passo 3

Vamos focar em um desses axiomas para verificar se o satisfaz. Um dos axiomas importantes é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, ou seja:
onde é um escalar e são vetores em .

Passo 4

Vamos testar esse axioma usando as operações definidas no problema.
Sejam dois vetores quaisquer e em .
Primeiro, somamos e usando a adição usual:
Agora, multiplicamos esse resultado por um escalar usando a multiplicação definida:
Por outro lado, multiplicamos cada vetor por individualmente:
Agora, somamos os resultados:

Passo 5

Comparando os dois resultados:
Vemos que as componentes correspondentes não são iguais, pois . Portanto, .

Resposta

Como a igualdade não é satisfeita, a operação de multiplicação por escalar definida não respeita um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial. Assim, o conjunto com essas operações não é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados

Dada a função , tal que :
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo ;
Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto vale 5 .
Considere no espaço os vetores e .
(a) Determine o vetor ; Resp.:
(b) Encontre o vetor da equação . Resp.:
Verifique se as matrizes e geram o espaço vetorial real . Resp.: Sim.