Considere o conjunto V do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do R^2 e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma: k(x, y)=(k x, 1). Prove que V com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto com duas operações: a adição usual em e uma multiplicação por escalar definida como . Precisamos provar que esse conjunto , com essas operações, não é um espaço vetorial sobre os números reais. Para isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se todas as condições são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, como os números reais , é um conjunto de vetores que, juntamente com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, satisfazem oito axiomas. Esses axiomas garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira consistente.

Passo 3

Vamos focar em um desses axiomas para verificar se k(u + v) = k u + k v o satisfaz. Um dos axiomas importantes é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, ou seja:
onde é um escalar e são vetores em .

Passo 4

Vamos testar esse axioma usando as operações definidas no problema.
Sejam dois vetores quaisquer u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e k(u + v) = k(x1 + x2, y1 + y2) = (k(x1 + x2), 1) em k u = k(x1, y1) = (k x1, 1) .
Primeiro, somamos k v = k(x2, y2) = (k x2, 1) e k u + k v = (k x1 + k x2, 1 + 1) = (k(x1 + x2), 2) usando a adição usual:
Agora, multiplicamos esse resultado por um escalar usando a multiplicação definida:
Por outro lado, multiplicamos cada vetor por individualmente:
Agora, somamos os resultados:

Passo 5

Comparando os dois resultados:
k(u + v) = (k(x1 + x2), 1)
k u + k v = (k(x1 + x2), 2)
Vemos que as componentes correspondentes não são iguais, pois . Portanto, .

Resposta

Como a igualdade não é satisfeita, a operação de multiplicação por escalar definida não respeita um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial. Assim, o conjunto com essas operações não é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados