Considere o conjunto
do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do
e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma:
. Prove que
com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
com duas operações: a adição usual em
e uma multiplicação por escalar definida como
. Precisamos provar que esse conjunto
, com essas operações, não é um espaço vetorial sobre os números reais. Para isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se todas as condições são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, como os números reais
, é um conjunto de vetores que, juntamente com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, satisfazem oito axiomas. Esses axiomas garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira consistente.
Passo 3
Vamos focar em um desses axiomas para verificar se
o satisfaz. Um dos axiomas importantes é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, ou seja:
onde
é um escalar e
são vetores em
.
Passo 4
Vamos testar esse axioma usando as operações definidas no problema.
Sejam dois vetores quaisquer
e
em
.
Primeiro, somamos
e
usando a adição usual:
Agora, multiplicamos esse resultado por um escalar
usando a multiplicação definida:
Por outro lado, multiplicamos cada vetor por
individualmente:
Agora, somamos os resultados:
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Vemos que as componentes correspondentes não são iguais, pois
. Portanto,
.
Resposta
Como a igualdade
não é satisfeita, a operação de multiplicação por escalar definida não respeita um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial. Assim, o conjunto
com essas operações não é um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Dada a função
, tal que
:
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo ;
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo
Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto
vale 5 .
Considere no espaço
os vetores
e
.
(a) Determine o vetor ; Resp.:
(b) Encontre o vetor da equação
. Resp.:
(a) Determine o vetor
(b) Encontre o vetor
Verifique se as matrizes
e
geram o espaço vetorial real
. Resp.: Sim.