Considere no espaço R^3 os vetores u=(1,2,1), v=(3,1,-3) e w=(4,1,0).
(a) Determine o vetor x=2 u+v-3 w; Resp.: (-7,2,-1)
(b) Encontre o vetor x da equação 3 u+2 x=v+w. Resp.: (2,-2,-3)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Temos três vetores no espaço R^3: u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -3) e w = (4, 1, 0). Na parte (a), precisamos determinar o vetor x definido por x = 2u + v - 3w. Para resolver isso, vamos utilizar operações de combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 2u. Isso significa multiplicar cada componente do vetor u por 2:
2u = 2 times (1, 2, 1) = (2 times 1, 2 times 2, 2 times 1) = (2, 4, 2)

Passo 3

Em seguida, temos o vetor v que já está dado:
v = (3, 1, -3)

Passo 4

Agora, vamos calcular -3w. Isso envolve multiplicar cada componente do vetor w por -3:
-3w = -3 times (4, 1, 0) = (-3 times 4, -3 times 1, -3 times 0) = (-12, -3, 0)

Passo 5

Agora, somamos os vetores 2u, v e -3w para encontrar x:
x = 2u + v - 3w = (2, 4, 2) + (3, 1, -3) + (-12, -3, 0)
Para somar vetores, somamos componente a componente:
x = (2 + 3 - 12, 4 + 1 - 3, 2 - 3 + 0) = (-7, 2, -1)

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o vetor x que satisfaz a equação 3u + 2x = v + w. Para isso, vamos isolar o vetor x na equação.

Passo 7

Primeiro, calculamos v + w:
v + w = (3, 1, -3) + (4, 1, 0) = (3 + 4, 1 + 1, -3 + 0) = (7, 2, -3)

Passo 8

Substituímos v + w na equação original:
3u + 2x = (7, 2, -3)

Passo 9

Calculamos 3u:
3u = 3 times (1, 2, 1) = (3 times 1, 3 times 2, 3 times 1) = (3, 6, 3)

Passo 10

Subtraímos 3u de ambos os lados da equação para isolar 2x:
2x = (7, 2, -3) - (3, 6, 3) = (7 - 3, 2 - 6, -3 - 3) = (4, -4, -6)

Passo 11

Finalmente, dividimos cada componente por 2 para encontrar x:
x = 12 times (4, -4, -6) = (2, -2, -3)

Resposta

O vetor x é (2, -2, -3).

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