Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto vale 5 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos esboçar e encontrar a equação do “lugar geométrico” dos pontos que estão a uma distância de 5 unidades do ponto . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da distância entre dois pontos e da equação geral de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um lugar geométrico. Em geometria, o lugar geométrico de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto específico é chamado de círculo. Nesse caso, o ponto fixo é , que será o centro do nosso círculo, e a distância fixa é 5, que será o raio.

Passo 3

A equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
onde são as coordenadas do centro do círculo e é o raio. Essa fórmula vem da definição da distância entre dois pontos, sendo que todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância do centro .

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na questão na fórmula do círculo. O centro é , então e . O raio é 5. Substituindo na equação, temos:
Simplificando:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos que estão a 5 unidades de distância do ponto é:

Exercícios relacionados

Dada a função , tal que , determine as constantes e , sabendo-se que e .
Considere as retas e . Determine de modo que e sejam:
concorrentes
Dada a função , tal que :
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo ;
Considere o conjunto do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma: . Prove que com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.