Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(2,-1) vale 5 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos esboçar e encontrar a equação do “lugar geométrico” dos pontos que estão a uma distância de 5 unidades do ponto . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da distância entre dois pontos e da equação geral de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um lugar geométrico. Em geometria, o lugar geométrico de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto específico é chamado de círculo. Nesse caso, o ponto fixo é , que será o centro do nosso círculo, e a distância fixa é 5, que será o raio.

Passo 3

A equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
onde são as coordenadas do centro do círculo e é o raio. Essa fórmula vem da definição da distância entre dois pontos, sendo que todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância do centro .

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na questão na fórmula do círculo. O centro é (x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2 , então (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 e . O raio é 5. Substituindo na equação, temos:
Simplificando:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos que estão a 5 unidades de distância do ponto (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 é:

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