Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto
vale 5 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos esboçar e encontrar a equação do “lugar geométrico” dos pontos que estão a uma distância de 5 unidades do ponto
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da distância entre dois pontos e da equação geral de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um lugar geométrico. Em geometria, o lugar geométrico de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto específico é chamado de círculo. Nesse caso, o ponto fixo é
, que será o centro do nosso círculo, e a distância fixa é 5, que será o raio.
Passo 3
A equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
onde
são as coordenadas do centro do círculo e
é o raio. Essa fórmula vem da definição da distância entre dois pontos, sendo que todos os pontos
que satisfazem essa equação estão a uma distância
do centro
.
Passo 4
Vamos substituir os valores fornecidos na questão na fórmula do círculo. O centro é
, então
e
. O raio
é 5. Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos que estão a 5 unidades de distância do ponto
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
, tal que
, determine as constantes
e
, sabendo-se que
e
.
Considere as retas
e
. Determine
de modo que
e
sejam:
concorrentes
concorrentes
Dada a função
, tal que
:
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo ;
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo
Considere o conjunto
do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do
e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma:
. Prove que
com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.