Verifique se as matrizes e geram o espaço vetorial real . Resp.: Sim.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se as quatro matrizes dadas geram o espaço vetorial das matrizes reais , denotado por . Para isso, vamos utilizar conceitos de combinação linear e independência linear de vetores (ou matrizes, no nosso caso). Vamos verificar se qualquer matriz pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as matrizes fornecidas:

Passo 3

O espaço tem dimensão 4, pois cada entrada da matriz pode ser escolhida independentemente. Portanto, precisamos verificar se as quatro matrizes são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base e, consequentemente, geram todo o espaço.

Passo 4

Para testar a independência linear, consideramos uma combinação linear que resulta na matriz zero:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
  4. Da quarta equação:
Substituindo , temos:

Passo 6

A única solução para o sistema é , o que significa que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão quatro, elas formam uma base para . Portanto, qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.

Resposta

Sim, as matrizes dadas geram o espaço vetorial real .

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Considere no espaço os vetores e .
(a) Determine o vetor ; Resp.:
(b) Encontre o vetor da equação . Resp.:
Considere o conjunto do exercício anterior com a operação de adição sendo a usual do e a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma: . Prove que com essas operações, não é um espaço vetorial real? Justifique adequadamente sua resposta.
Mostre que os vetores e formam uma base do . Escreva cada um dos vetores da base canônica do como combinação linear de e .