Considere o conjunto V=R^2 com as seguintes operações: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(m x1+5(m-1), m y1). Mostre que (V, oplus, odot) é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos o conjunto com duas operações especiais de adição ( ) e multiplicação por escalar ( ). Precisamos mostrar que é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial são satisfeitas usando essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a adição u oplus v = (x1 + x2 + 5, y1 + y2) é comutativa. Ou seja, para quaisquer vetores v oplus u = (x2 + x1 + 5, y2 + y1) e em , será que ?
Calculando:
Como a soma é comutativa nos números reais, temos que . Portanto, a adição é comutativa.

Passo 3

Agora, vamos verificar a associatividade da adição (u oplus v) oplus w = (x1 + x2 + 5 + x3 + 5, y1 + y2 + y3) = (x1 + x2 + x3 + 10, y1 + y2 + y3) . Precisamos ver se para quaisquer u oplus (v oplus w) = (x1 + (x2 + x3 + 5) + 5, y1 + (y2 + y3)) = (x1 + x2 + x3 + 10, y1 + y2 + y3) , .
Calculando:
Como ambos os resultados são iguais, a adição é associativa.

Passo 4

Vamos identificar o vetor zero em u oplus z = (x + a + 5, y + b) = (x, y) com a operação x + a + 5 = x Rightarrow a = -5 . O vetor zero y + b = y Rightarrow b = 0 deve satisfazer para todo .
Assumindo , temos:
Isso implica que:
Portanto, o vetor zero é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o inverso de um vetor (x + a + 5, y + b) = (-5, 0) em x + a + 5 = -5 Rightarrow a = -x - 10 com relação à adição y + b = 0 Rightarrow b = -y . O inverso deve satisfazer , onde .
Assumindo , temos:
Isso leva a:
Portanto, o inverso de é .

Passo 6

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a adição vetorial. Precisamos mostrar que m odot (u oplus v) = m odot (x1 + x2 + 5, y1 + y2) = (m(x1 + x2 + 5) + 5(m - 1), m(y1 + y2)) para todo escalar = (m x1 + m x2 + 5m + 5m - 5, m y1 + m y2) = (m x1 + m x2 + 10m - 5, m y1 + m y2) e vetores (m odot u) oplus (m odot v) = (m x1 + 5(m - 1), m y1) oplus (m x2 + 5(m - 1), m y2) .
Calculando o lado esquerdo:
= (m x1 + 5(m - 1) + m x2 + 5(m - 1) + 5, m y1 + m y2)
= (m x1 + m x2 + 10(m - 1) + 5, m y1 + m y2) = (m x1 + m x2 + 10m - 10 + 5, m y1 + m y2)
Calculando o lado direito:
= (m x1 + m x2 + 10m - 5, m y1 + m y2)
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está verificada.

Passo 7

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Precisamos mostrar que .
Isso já foi verificado no Passo 6, onde mostramos que .

Passo 8

Por fim, vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares, ou seja, que m odot (n odot u) = m odot (n x + 5(n - 1), n y) = (m(n x) + 5(m - 1) + 5m(n - 1) - 5, m(n y)) .
Calculando o lado esquerdo:
= (m n x + 5m - 5 + 5m n - 5m, m n y) = (m n x + 5m n - 5, m n y)
(mn) odot u = (mn x + 5(mn - 1), mn y) = (m n x + 5m n - 5, m n y)
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está confirmada.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial.

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