Considere o conjunto com as seguintes operações: e . Mostre que é um espaço vetorial.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos o conjunto com duas operações especiais de adição () e multiplicação por escalar (). Precisamos mostrar que é um espaço vetorial. Para isso, vamos verificar se todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial são satisfeitas usando essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição é comutativa. Ou seja, para quaisquer vetores e em , será que ?
Calculando:
Como a soma é comutativa nos números reais, temos que . Portanto, a adição é comutativa.
Passo 3
Agora, vamos verificar a associatividade da adição . Precisamos ver se para quaisquer , .
Calculando:
Como ambos os resultados são iguais, a adição é associativa.
Passo 4
Vamos identificar o vetor zero em com a operação . O vetor zero deve satisfazer para todo .
Assumindo , temos:
Isso implica que:
Portanto, o vetor zero é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o inverso de um vetor em com relação à adição . O inverso deve satisfazer , onde .
Assumindo , temos:
Isso leva a:
Portanto, o inverso de é .
Passo 6
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a adição vetorial. Precisamos mostrar que para todo escalar e vetores .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está verificada.
Passo 7
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores. Precisamos mostrar que .
Isso já foi verificado no Passo 6, onde mostramos que .
Passo 8
Por fim, vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares, ou seja, que .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a compatibilidade está confirmada.