Determine a equação da hipérbole que tem vértices e as equações das assíntotas são e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem dois vértices em e , além das assíntotas dadas por e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre hipérboles, como a forma padrão da equação da hipérbole e a relação entre seus elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices estão em e , então o centro fica no ponto médio entre eles. O ponto médio pode ser calculado pela média das coordenadas dos vértices:
Então, o centro é .
Passo 3
Como os vértices estão alinhados no eixo x e as assíntotas são , sabemos que a hipérbole é horizontal. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
Como o centro é , a equação simplifica para:
Passo 4
Os vértices estão a uma distância do centro. Como os vértices são e , temos que . Então, .
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
Sabemos que as assíntotas são . Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos e na equação padrão da hipérbole: