Determine a equação da hipérbole que tem vértices A1=(-3,0), A2=(3,0) e as equações das assíntotas são y=-2 x e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem dois vértices em e , além das assíntotas dadas por e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre hipérboles, como a forma padrão da equação da hipérbole e a relação entre seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices estão em h = -3 + 32 = 0 k = 0 + 02 = 0 e , então o centro fica no ponto médio entre eles. O ponto médio pode ser calculado pela média das coordenadas dos vértices:
Então, o centro é .

Passo 3

Como os vértices estão alinhados no eixo x e as assíntotas são (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 , sabemos que a hipérbole é horizontal. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Como o centro é , a equação simplifica para:

Passo 4

Os vértices estão a uma distância do centro. Como os vértices são e , temos que . Então, .

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
y = pm ba x
Sabemos que as assíntotas são ba = 2 b = 2a = 2 times 3 = 6 b^2 = 36 . Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos x^29 - y^236 = 1 e na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^29 - y^236 = 1

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