Encontre a matriz LRFE equivalente a
(ccc 2 & 1 & 3 0 & -2 & -29 3 & 4 & 5 )
mas sem introduzir quaisquer frações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Matriz em Forma Reduzida por Escalonamento (LRFE) da matriz dada, sem usar frações. Isso envolve usar operações elementares de linhas para chegar na forma desejada. Para isso, vamos precisar trocar linhas, multiplicar linhas por números e somar múltiplos de uma linha com outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
2 & 1 & 3 0 & -2 & -29 3 & 4 & 5
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz LRFE.

Passo 3

Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Atualmente, ele é 2. Para evitar frações, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
3 & 4 & 5 0 & -2 & -29 2 & 1 & 3

Passo 4

Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 3. No entanto, isso introduziria uma fração, então vamos evitar e trabalhar com múltiplos inteiros. Em vez disso, manteremos o 3 e usaremos operações para zerar os elementos abaixo dele.

Passo 5

Vamos zerar o elemento abaixo do 3 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha menos (2/3) vezes a primeira linha. Novamente, isso introduz frações, então vamos evitar outra abordagem: multiplicar a primeira linha por 2 e a terceira linha por 3 para eliminar fracções posteriormente.
Multiplicando:
Linha 1 × 2: (6, 8, 10)
Linha 3 × 3: (6, 3, 9)
Agora, subtraímos a nova Linha 3 da nova Linha 1:
(6 - 6, 8 - 3, 10 - 9) = (0, 5, 1)
Então, atualizamos a matriz:
6 & 8 & 10 0 & -2 & -29 6 & 3 & 9
Subtraindo linhas para zerar:
6 & 8 & 10 0 & -2 & -29 0 & -5 & -1

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Atualmente, é -2. Para evitar frações, vamos multiplicar a segunda linha por -1:
6 & 8 & 10 0 & 2 & 29 0 & -5 & -1

Passo 7

Vamos zerar o elemento abaixo do 2 na segunda coluna. Para isso, vamos adicionar (5/2) vezes a segunda linha à terceira linha. Novamente, para evitar frações, multiplicamos a segunda linha por 5 e a terceira linha por 2:
Linha 2 × 5: (0, 10, 145)
Linha 3 × 2: (0, -10, -2)
Somando:
(0 + 0, 10 - 10, 145 - 2) = (0, 0, 143)
Atualizando a matriz:
6 & 8 & 10 0 & 10 & 145 0 & 0 & 143

Passo 8

Agora, queremos que o último elemento seja 1. Para isso, vamos dividir a terceira linha por 143:
6 & 8 & 10 0 & 10 & 145 0 & 0 & 1

Passo 9

Vamos agora zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Subtraímos 10 vezes a terceira linha da primeira linha e 145 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 1: (6, 8, 10) - 10*(0, 0, 1) = (6, 8, 0)
Linha 2: (0, 10, 145) - 145*(0, 0, 1) = (0, 10, 0)
Atualizando a matriz:
6 & 8 & 0 0 & 10 & 0 0 & 0 & 1

Passo 10

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Dividimos a segunda linha por 10:
6 & 8 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 11

Por fim, vamos zerar o elemento acima do 1 na segunda coluna. Subtraímos 8 vezes a segunda linha da primeira linha:
(6, 8, 0) - 8*(0, 1, 0) = (6, 0, 0)
Atualizando a matriz final:
6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz LRFE equivalente é:
6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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