Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
com duas operações definidas: a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
. A tarefa é mostrar que esse conjunto com essas operações não forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são atendidas por essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular quais são as propriedades que precisam ser satisfeitas para que um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial. As principais propriedades são:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
- Comutatividade da adição: A ordem na soma não altera o resultado.
- Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
- Existência do vetor zero: Deve existir um vetor que, somado a qualquer outro, não muda este.
- Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que somado a ele resulte no vetor zero.
- Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve resultar em um vetor do conjunto.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares.
- Existência do escalar identidade: Multiplicar um vetor pelo escalar 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações dadas.
Passo 3
Vamos começar examinando a multiplicação por escalar definida como
. Isso significa que, independentemente do valor de
, o vetor não é alterado. Vamos ver se isso atende às propriedades necessárias.
Propriedade 6: Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação por escalar está definida para todo
e para todo vetor
. Portanto, a multiplicação por escalar está fechada.
Propriedade 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Devemos ter:
Vamos calcular ambos os lados:
Esquerda:
Direita:
Nesse caso, a propriedade parece ser satisfeita.
Propriedade 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Devemos ter:
Calculando ambos os lados:
Esquerda:
Direita:
Claramente,
a menos que
. Portanto, essa propriedade não é satisfeita.
Passo 4
Já que encontramos uma propriedade que não é atendida, podemos concluir que
não é um espaço vetorial. Especificamente, a propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita com a definição de multiplicação por escalar dada.
Resposta
Portanto,
não é um espaço vetorial porque a multiplicação por escalar definida não satisfaz todas as propriedades necessárias, especialmente a distributividade em relação à adição de escalares.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Considere o conjunto
com as operações
e
. Mostre que
é um espaço vetorial.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.