Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(x1, y1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto R^2 com duas operações definidas: a adição de vetores oplus e a multiplicação por escalar odot. A tarefa é mostrar que esse conjunto com essas operações não forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são atendidas por essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular quais são as propriedades que precisam ser satisfeitas para que um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial. As principais propriedades são:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: A ordem na soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
  4. Existência do vetor zero: Deve existir um vetor que, somado a qualquer outro, não muda este.
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que somado a ele resulte no vetor zero.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve resultar em um vetor do conjunto.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares.
  10. Existência do escalar identidade: Multiplicar um vetor pelo escalar 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações dadas.

Passo 3

Vamos começar examinando a multiplicação por escalar definida como m odot (x1, y1) = (x1, y1). Isso significa que, independentemente do valor de m, o vetor não é alterado. Vamos ver se isso atende às propriedades necessárias.
Propriedade 6: Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação por escalar está definida para todo m in R e para todo vetor (x1, y1) in R^2. Portanto, a multiplicação por escalar está fechada.
Propriedade 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Devemos ter:
m odot ( (x1, y1) oplus (x2, y2) ) = m odot (x1, y1) oplus m odot (x2, y2)
Vamos calcular ambos os lados:
Esquerda:
m odot ( (x1 + x2, y1 + y2) ) = (x1 + x2, y1 + y2)
Direita:
m odot (x1, y1) oplus m odot (x2, y2) = (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Nesse caso, a propriedade parece ser satisfeita.
Propriedade 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Devemos ter:
(m + n) odot (x1, y1) = m odot (x1, y1) oplus n odot (x1, y1)
Calculando ambos os lados:
Esquerda:
(m + n) odot (x1, y1) = (x1, y1)
Direita:
m odot (x1, y1) oplus n odot (x1, y1) = (x1, y1) oplus (x1, y1) = (2x1, 2y1)
Claramente, (x1, y1) neq (2x1, 2y1) a menos que x1 = y1 = 0. Portanto, essa propriedade não é satisfeita.

Passo 4

Já que encontramos uma propriedade que não é atendida, podemos concluir que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. Especificamente, a propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita com a definição de multiplicação por escalar dada.

Resposta

Portanto, (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial porque a multiplicação por escalar definida não satisfaz todas as propriedades necessárias, especialmente a distributividade em relação à adição de escalares.

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