Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
com duas operações definidas: a adição
sempre resulta em
, ou seja,
. A multiplicação por escalar
funciona normalmente:
. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto com essas operações não forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e verificar se algum deles não é satisfeito por essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns dos axiomas básicos de um espaço vetorial:
- Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que para todo vetor . - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . - Distributividade da escala sobre a adição de vetores:
. - Distributividade da escala sobre a adição de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalares:
.
Vamos verificar alguns desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar pela associatividade da adição. Como a adição
sempre resulta em
, independente dos vetores que estamos somando:
Então, nesse caso, a associatividade parece ser satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar o elemento neutro da adição. Pelo enunciado, a operação de adição sempre dá
. Então, supomos que
seja o elemento neutro:
Mas isso só é verdade se
, o que não é o caso para vetores diferentes de zero. Portanto, o elemento neutro não existe para outros vetores além de
, o que já quebra um dos axiomas fundamentais.
Passo 5
Além disso, vamos ver a existência de inversos aditivos. Para cada vetor
, deveria existir um vetor
tal que:
No nosso caso, como qualquer adição de vetores dá
, não importa qual seja o vetor que escolhemos como inverso, já que sempre teremos
independentemente de
. Isso significa que não temos um inverso único para cada vetor, o que também viola os axiomas de espaço vetorial.
Passo 6
Podemos também verificar a distributividade da escala sobre a adição de vetores:
Aqui, parece que a distributividade é satisfeita, já que ambos os lados resultam em
. No entanto, como já vimos problemas com os axiomas da identidade e dos inversos, isso já é suficiente para concluir que não estamos lidando com um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, como o conjunto
com as operações dadas não satisfaz os axiomas fundamentais de espaço vetorial, especificamente a existência de um elemento neutro adequado e a existência de inversos aditivos únicos, podemos concluir que
não é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Considere o conjunto
com as seguintes operações:
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que o subconjunto de
dado por
em que
e
também é um subespaço vetorial de
. Além disso, mostre que
é o menor subespaço de
que contém os subespaços
e
. O subespaço vetorial
é chamado a soma dos subespaços
e
.