Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(0,0) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto R^2 com duas operações definidas: a adição oplus sempre resulta em (0,0), ou seja, (x1, y1) oplus(x2, y2)=(0,0). A multiplicação por escalar odot funciona normalmente: m odot(x1, y1)=(m x1, m y1). Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto com essas operações não forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e verificar se algum deles não é satisfeito por essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns dos axiomas básicos de um espaço vetorial:
  1. Associatividade da adição: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  2. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero 0 tal que u oplus 0 = u para todo vetor u.
  3. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor u, existe um vetor -u tal que u oplus (-u) = 0.
  4. Distributividade da escala sobre a adição de vetores: m odot (u oplus v) = m odot u oplus m odot v.
  5. Distributividade da escala sobre a adição de escalares: (m + n) odot u = m odot u oplus n odot u.
  6. Compatibilidade da multiplicação por escalares: m odot (n odot u) = (mn) odot u.
  7. Elemento neutro da multiplicação por escalares: 1 odot u = u.
Vamos verificar alguns desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Vamos começar pela associatividade da adição. Como a adição oplus sempre resulta em (0,0), independente dos vetores que estamos somando:
(u oplus v) oplus w = (0,0) oplus w = (0,0)
u oplus (v oplus w) = u oplus (0,0) = (0,0)
Então, nesse caso, a associatividade parece ser satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar o elemento neutro da adição. Pelo enunciado, a operação de adição sempre dá (0,0). Então, supomos que (0,0) seja o elemento neutro:
u oplus (0,0) = (0,0) = u
Mas isso só é verdade se u = (0,0), o que não é o caso para vetores diferentes de zero. Portanto, o elemento neutro não existe para outros vetores além de (0,0), o que já quebra um dos axiomas fundamentais.

Passo 5

Além disso, vamos ver a existência de inversos aditivos. Para cada vetor u, deveria existir um vetor -u tal que:
u oplus (-u) = (0,0)
No nosso caso, como qualquer adição de vetores dá (0,0), não importa qual seja o vetor que escolhemos como inverso, já que sempre teremos (0,0) independentemente de -u. Isso significa que não temos um inverso único para cada vetor, o que também viola os axiomas de espaço vetorial.

Passo 6

Podemos também verificar a distributividade da escala sobre a adição de vetores:
m odot (u oplus v) = m odot (0,0) = (0,0)
m odot u oplus m odot v = (m x1, m y1) oplus (m x2, m y2) = (0,0)
Aqui, parece que a distributividade é satisfeita, já que ambos os lados resultam em (0,0). No entanto, como já vimos problemas com os axiomas da identidade e dos inversos, isso já é suficiente para concluir que não estamos lidando com um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, como o conjunto R^2 com as operações dadas não satisfaz os axiomas fundamentais de espaço vetorial, especificamente a existência de um elemento neutro adequado e a existência de inversos aditivos únicos, podemos concluir que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial.

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