Considere o conjunto
com as operações de adição
multiplicação por escalar
dadas por:
Mostre que
é um espaço vetorial com as operações
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
definidas por
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas por
com essas operações. Essas propriedades incluem coisas como fechamento, associatividade, existência de elementos neutros, entre outras.
Passo 2
Fechamento sob a adição
Primeiro, vamos checar se ao adicionar dois vetores de
usando
, o resultado ainda pertence a
.
Sejam
e
em
. Então:
Como
e
, o produto
. Portanto, o segundo componente do resultado também é positivo, garantindo que
. Assim,
é fechado sob a adição
.
Passo 3
Comutatividade da adição
Vamos ver se a adição
é comutativa, ou seja, se
para quaisquer
.
Tomemos
e
. Então:
Como a adição de números reais é comutativa (
) e a multiplicação também é (
), temos que
. Portanto, a adição
é comutativa.
Passo 4
Associatividade da adição
Agora, vamos verificar se a adição
é associativa, ou seja, se
para quaisquer
.
Sejam
,
e
. Então:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais,
. Portanto, a adição
é associativa.
Passo 5
Existência do elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
para todo
.
Vamos supor que
. Então, para qualquer
:
Isso implica que:
Então, o elemento neutro é
. É importante notar que
, então
. Portanto,
possui um elemento neutro para a adição
.
Passo 6
Existência do elemento inverso da adição
Para cada vetor
, precisamos encontrar um vetor
tal que
, onde
.
Vamos resolver:
Isso nos dá o sistema:
Então, o inverso de
é
. Como
, temos
, garantindo que
. Portanto, todo vetor em
possui um inverso para a adição
.
Passo 7
Fechamento sob a multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor de
por um escalar
usando
, o resultado ainda está em
.
Para
e
:
Precisamos garantir que o segundo componente
. Como
e exponenciais de números reais positivos permanecem positivos,
para qualquer
. Portanto,
, e então
é fechado sob a multiplicação por escalar
.
Passo 8
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos checar se
para quaisquer
e
.
Sejam
e
. Então:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, temos que
. Portanto, a distributividade está satisfeita.
Passo 9
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se
para quaisquer
e
.
Para
:
Por outro lado:
Os resultados coincidem, então
. Assim, a distributividade em relação à adição de escalares também está satisfeita.
Passo 10
Compatibilidade da multiplicação por escalar
Vamos checar se
para quaisquer
e
.
Para
:
Por outro lado:
Simplificando:
Os resultados são iguais, ou seja,
. Portanto, a compatibilidade da multiplicação por escalar está confirmada.
Passo 11
Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
para todo
.
Para
:
Portanto,
, confirmando que o escalar 1 atua como elemento neutro na multiplicação por escalar.
Resposta
Após verificar todas as propriedades necessárias, concluímos que
é de fato um espaço vetorial com as operações de adição
e multiplicação por escalar
definidas no enunciado.