Considere o conjunto V=(x, y) in R^2: y>0 com as operações de adição oplus e multiplicação por escalar odot dadas por:
l (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+2, y1 y2) alpha odot(x, y)=(alpha x+2(alpha-1), y^alpha)
Mostre que V é um espaço vetorial com as operações oplus e odot.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2 + 2, y1 y2) alpha odot (x, y) = (alpha x + 2(alpha - 1), y^alpha) com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas por com essas operações. Essas propriedades incluem coisas como fechamento, associatividade, existência de elementos neutros, entre outras.

Passo 2

Fechamento sob a adição
Primeiro, vamos checar se ao adicionar dois vetores de (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2 + 2, y1 y2) usando , o resultado ainda pertence a .
Sejam e em . Então:
Como e , o produto . Portanto, o segundo componente do resultado também é positivo, garantindo que . Assim, é fechado sob a adição .

Passo 3

Comutatividade da adição
Vamos ver se a adição u oplus v = (x1 + x2 + 2, y1 y2) é comutativa, ou seja, se v oplus u = (x2 + x1 + 2, y2 y1) para quaisquer .
Tomemos e . Então:
Como a adição de números reais é comutativa ( ) e a multiplicação também é ( ), temos que . Portanto, a adição é comutativa.

Passo 4

Associatividade da adição
Agora, vamos verificar se a adição (u oplus v) oplus w = (x1 + x2 + 2, y1 y2) oplus (x3, y3) = ((x1 + x2 + 2) + x3 + 2, y1 y2 y3) é associativa, ou seja, se = (x1 + x2 + x3 + 4, y1 y2 y3) para quaisquer u oplus (v oplus w) = (x1, y1) oplus (x2 + x3 + 2, y2 y3) = (x1 + (x2 + x3 + 2) + 2, y1 y2 y3) .
Sejam = (x1 + x2 + x3 + 4, y1 y2 y3) , e . Então:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, . Portanto, a adição é associativa.

Passo 5

Existência do elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor u oplus 0V = (x + a + 2, y cdot b) = (x, y) tal que x + a + 2 = x Rightarrow a + 2 = 0 Rightarrow a = -2 para todo y cdot b = y Rightarrow b = 1 (pois y > 0) .
Vamos supor que . Então, para qualquer :
Isso implica que:
Então, o elemento neutro é . É importante notar que , então . Portanto, possui um elemento neutro para a adição .

Passo 6

Existência do elemento inverso da adição
Para cada vetor u oplus v = (x + a + 2, y cdot b) = (-2, 1) , precisamos encontrar um vetor x + a + 2 = -2 Rightarrow a = -2 - x - 2 = -x - 4 tal que y cdot b = 1 Rightarrow b = 1y , onde .
Vamos resolver:
Isso nos dá o sistema:
Então, o inverso de é . Como , temos , garantindo que . Portanto, todo vetor em possui um inverso para a adição .

Passo 7

Fechamento sob a multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor de alpha odot (x, y) = (alpha x + 2(alpha - 1), y^alpha) por um escalar usando , o resultado ainda está em .
Para e :
Precisamos garantir que o segundo componente . Como e exponenciais de números reais positivos permanecem positivos, para qualquer . Portanto, , e então é fechado sob a multiplicação por escalar .

Passo 8

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos checar se u oplus v = (x1 + x2 + 2, y1 y2) para quaisquer alpha odot (u oplus v) = (alpha(x1 + x2 + 2) + 2(alpha - 1), (y1 y2)^alpha) e = (alpha x1 + alpha x2 + 2alpha + 2alpha - 2, y1^alpha y2^alpha) .
Sejam = (alpha x1 + alpha x2 + 4alpha - 2, y1^alpha y2^alpha) e alpha odot u = (alpha x1 + 2(alpha - 1), y1^alpha) . Então:
alpha odot v = (alpha x2 + 2(alpha - 1), y2^alpha)
alpha odot u oplus alpha odot v = (alpha x1 + 2(alpha - 1) + alpha x2 + 2(alpha - 1) + 2, y1^alpha y2^alpha)
= (alpha x1 + alpha x2 + 4alpha - 4 + 2, y1^alpha y2^alpha)
= (alpha x1 + alpha x2 + 4alpha - 2, y1^alpha y2^alpha)
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, temos que . Portanto, a distributividade está satisfeita.

Passo 9

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se (alpha + beta) odot u = ((alpha + beta)x + 2((alpha + beta) - 1), y^alpha + beta) para quaisquer = (alpha x + beta x + 2alpha + 2beta - 2, y^alpha y^beta) e = (alpha x + beta x + 2(alpha + beta) - 2, y^alpha y^beta) .
Para alpha odot u = (alpha x + 2(alpha - 1), y^alpha) :
beta odot u = (beta x + 2(beta - 1), y^beta)
alpha odot u oplus beta odot u = (alpha x + 2(alpha - 1) + beta x + 2(beta - 1) + 2, y^alpha y^beta)
= (alpha x + beta x + 2alpha - 2 + 2beta - 2 + 2, y^alpha y^beta)
Por outro lado:
= (alpha x + beta x + 2alpha + 2beta - 2, y^alpha y^beta)
Os resultados coincidem, então . Assim, a distributividade em relação à adição de escalares também está satisfeita.

Passo 10

Compatibilidade da multiplicação por escalar
Vamos checar se beta odot u = (beta x + 2(beta - 1), y^beta) para quaisquer alpha odot (beta odot u) = (alpha (beta x + 2(beta - 1)) + 2(alpha - 1), (y^beta)^alpha) e = (alpha beta x + 2alpha (beta - 1) + 2alpha - 2, y^beta alpha) .
Para = (alpha beta x + 2alpha beta - 2alpha + 2alpha - 2, y^alpha beta) :
= (alpha beta x + 2alpha beta - 2, y^alpha beta)
(alpha beta) odot u = (alpha beta x + 2(alpha beta - 1), y^alpha beta)
= (alpha beta x + 2alpha beta - 2, y^alpha beta)
Por outro lado:
Simplificando:
Os resultados são iguais, ou seja, . Portanto, a compatibilidade da multiplicação por escalar está confirmada.

Passo 11

Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se 1 odot u = (1 cdot x + 2(1 - 1), y^1) = (x + 0, y) = (x, y) = u para todo .
Para :
Portanto, , confirmando que o escalar 1 atua como elemento neutro na multiplicação por escalar.

Resposta

Após verificar todas as propriedades necessárias, concluímos que é de fato um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

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