Seja B=v1, ldots, vn um subconjunto de R^n, e seja A a matriz n times n cuja linha i é igual ao vetor vi para cada i=1, ldots, n. Prove que B é base de R^n se e somente se det(A) neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que um conjunto de vetores em é uma base desse espaço se e somente se o determinante da matriz (formada colocando cada vetor como uma linha) não for zero. Vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e bases para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a matriz . A matriz é uma matriz quadrada de ordem , onde cada linha é um dos vetores do conjunto . O determinante dessa matriz, , nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.

Passo 4

Um ponto chave aqui é que uma matriz é invertível (ou não singular) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Além disso, quando a matriz é invertível, as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente independentes, formando uma base para .

Passo 5

Vamos agora provar a primeira parte: Se é uma base de , então .
  • Como é uma base, os vetores são linearmente independentes.
  • Isso implica que as linhas da matriz são linearmente independentes.
  • Se as linhas de são linearmente independentes, então é invertível.
  • Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos provar a segunda parte: Se , então é uma base de .
  • Se , então é invertível.
  • Uma matriz invertível tem linhas linearmente independentes.
  • Como as linhas de são os vetores de , os vetores são linearmente independentes.
  • Além disso, como há exatamente vetores em , eles também geram todo o espaço.
  • Portanto, é uma base de .

Resposta

Concluímos que o conjunto é uma base de se e somente se o determinante da matriz formada por esses vetores como linhas for diferente de zero, ou seja, .

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