Seja
um subconjunto de
, e seja
a matriz
cuja linha
é igual ao vetor
para cada
. Prove que
é base de
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que um conjunto de vetores
em
é uma base desse espaço se e somente se o determinante da matriz
(formada colocando cada vetor
como uma linha) não for zero. Vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e bases para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz
. A matriz
é uma matriz quadrada de ordem
, onde cada linha é um dos vetores
do conjunto
. O determinante dessa matriz,
, nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.
Passo 4
Um ponto chave aqui é que uma matriz
é invertível (ou não singular) se, e somente se, seu determinante
for diferente de zero. Além disso, quando a matriz é invertível, as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente independentes, formando uma base para
.
Passo 5
Vamos agora provar a primeira parte: Se
é uma base de
, então
.
- Como
é uma base, os vetores são linearmente independentes. - Isso implica que as linhas da matriz
são linearmente independentes. - Se as linhas de
são linearmente independentes, então é invertível. - Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos provar a segunda parte: Se
, então
é uma base de
.
- Se
, então é invertível. - Uma matriz invertível tem linhas linearmente independentes.
- Como as linhas de
são os vetores de , os vetores são linearmente independentes. - Além disso, como há exatamente
vetores em , eles também geram todo o espaço. - Portanto,
é uma base de .
Resposta
Concluímos que o conjunto
é uma base de
se e somente se o determinante da matriz
formada por esses vetores como linhas for diferente de zero, ou seja,
.