Mostre que R^2=[(a, b),(c, d)] se e somente se det[lla & b c & d] neq 0.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: Precisamos mostrar que o espaço é igual ao conjunto gerado pelos vetores e se e somente se o determinante da matriz formada por esses vetores for diferente de zero. Estamos trabalhando com teoria de matrizes e sistemas lineares, e vamos precisar entender o conceito de determinante e como ele relaciona os vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que (x, y) = s(a, b) + t(c, d) . Isso quer dizer que qualquer vetor no plano sa + tc = x sb + td = y pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Em outras palavras, para qualquer vetor , existem números e tais que:
Isso significa que o sistema de equações:
tem uma solução para todos os e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz deta & b c & d = ad - bc :
O determinante nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, o que significa que o sistema de equações tem uma solução única para qualquer .

Passo 4

Vamos mostrar a implicação para frente: se a & b c & d, então .
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso garante que para qualquer vetor , existe uma única combinação linear dos vetores e que resulta em . Portanto, os vetores e geram todo o espaço .

Passo 5

Agora, vamos mostrar a implicação inversa: se a & b c & d, então .
Se os vetores e geram todo o espaço , isso significa que eles são linearmente independentes. Vetores linearmente independentes em têm determinante diferente de zero. Portanto, o determinante da matriz formada por esses vetores não pode ser zero.

Resposta

Concluímos que a & b c & d se e somente se .

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