Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
Vamos entender o enunciado: Precisamos mostrar que o espaço
é igual ao conjunto gerado pelos vetores
e
se e somente se o determinante da matriz formada por esses vetores for diferente de zero. Estamos trabalhando com teoria de matrizes e sistemas lineares, e vamos precisar entender o conceito de determinante e como ele relaciona os vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que qualquer vetor no plano
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Em outras palavras, para qualquer vetor
, existem números
e
tais que:
Isso significa que o sistema de equações:
tem uma solução para todos os
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz
:
O determinante nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, o que significa que o sistema de equações tem uma solução única para qualquer
.
Passo 4
Vamos mostrar a implicação para frente: se
, então
.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso garante que para qualquer vetor
, existe uma única combinação linear dos vetores
e
que resulta em
. Portanto, os vetores
e
geram todo o espaço
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar a implicação inversa: se
, então
.
Se os vetores
e
geram todo o espaço
, isso significa que eles são linearmente independentes. Vetores linearmente independentes em
têm determinante diferente de zero. Portanto, o determinante da matriz formada por esses vetores não pode ser zero.
Resposta
Concluímos que
se e somente se
.