Sejam B1=(1,-1),(0,2) e B2=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e R^3, respectivamente. Seja a matriz
[T]B1^B2=(cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
Se S(x, y)=(2 y, x-y, x), ache [S]B1^B2.

Passo 1

Beleza! O enunciado fala sobre encontrar a matriz de uma transformação linear de para em relação às bases dadas e . Vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e utilizar as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear , precisamos ver como os vetores da base são transformados por e depois expressar esses resultados na base .

Passo 3

As bases são dadas por:
  • para
  • para
E a transformação .

Passo 4

Vamos aplicar S(1, -1) = (2*(-1), 1 - (-1), 1) = (-2, 2, 1) nos vetores da base S(0, 2) = (2*2, 0 - 2, 0) = (4, -2, 0) :
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses vetores a(1, 0, -1) + b(0, 1, 2) + c(1, 2, 0) = (-2, 2, 1) e a + c = -2 b + 2c = 2 -a + 2b = 1 na base -(-2 - c) + 2b = 1 Rightarrow 2 + c + 2b = 1 Rightarrow c + 2b = -1 . Para isso, resolvemos sistemas lineares para encontrar as coordenadas em 2b + 4c = 4 .
Para (2b + 4c) - (c + 2b) = 4 - (-1) Rightarrow 3c = 5 Rightarrow c = 53 :
a(1, 0, -1) + b(0, 1, 2) + c(1, 2, 0) = (4, -2, 0)
Isso nos dá o sistema:
a + c = 4 b + 2c = -2 -a + 2b = 0
Resolvendo, encontramos -(4 - c) + 2b = 0 Rightarrow -4 + c + 2b = 0 Rightarrow c + 2b = 4 e substituindo na terceira equação:
2b + 4c = -4
Usando (2b + 4c) - (c + 2b) = -4 - 4 Rightarrow 3c = -8 Rightarrow c = -83 e , resolvemos:
Multiplicamos a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação:
Então, e .
Logo, as coordenadas de em são .
Para :
Sistema:
Resolvendo, e substituindo na terceira equação:
Com e , resolvemos:
Multiplicamos a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação:
Então, e .
Logo, as coordenadas de em são .

Resposta

A matriz [S]B1^B2 = -dfrac113 & dfrac203 -dfrac43 & dfrac103 dfrac53 & -dfrac83 é:

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