Encontre uma transformação linear T: R^4 R^3 tal que T(-1,1,0,0)=(0,0,-2), T(0,0,2,1)= (-1,4,5) e T(1,1,0,0)=(0,4,6) e T(0,0,0,1)=(2,1,3).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem que encontrar uma transformação linear que transforma certos vetores de em vetores específicos de . Esse tipo de problema está ligado ao estudo de transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar montar a matriz que representa essa transformação linear, usando as informações dadas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso porque cada vetor de é multiplicado pela matriz para obter um vetor em . Nosso objetivo é descobrir os elementos dessa matriz .

Passo 3

Vamos chamar a matriz A = a11 & a12 & a13 & a14 a21 & a22 & a23 & a24 a31 & a32 & a33 & a34 de:
Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos de . Mas como não sabemos essas imagens, vamos usar as informações dadas para construir um sistema de equações.

Passo 4

Dado que A cdot -1 1 0 0 = 0 0 -2 , podemos escrever:
- a11 + a12 + 0 + 0 = 0 - a21 + a22 + 0 + 0 = 0 - a31 + a32 + 0 + 0 = -2
Multiplicando a matriz pela coluna, temos:
- a11 + a12 = 0 (1) - a21 + a22 = 0 (2) - a31 + a32 = -2 (3)
Isso nos dá três equações:

Passo 5

Agora, usando A cdot 0 0 2 1 = -1 4 5 , temos:
0 + 0 + 2 a13 + a14 = -1 (4) 0 + 0 + 2 a23 + a24 = 4 (5) 0 + 0 + 2 a33 + a34 = 5 (6)
Multiplicando, obtemos:

Passo 6

Também temos A cdot 1 1 0 0 = 0 4 6 :
a11 + a12 + 0 + 0 = 0 (7) a21 + a22 + 0 + 0 = 4 (8) a31 + a32 + 0 + 0 = 6 (9)
Multiplicando:

Passo 7

E finalmente, A cdot 0 0 0 1 = 2 1 3 :
0 + 0 + 0 + a14 = 2 (10) 0 + 0 + 0 + a24 = 1 (11) 0 + 0 + 0 + a34 = 3 (12)
Multiplicando:

Passo 8

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, da equação (1): a11 + a11 = 0 Rightarrow 2 a11 = 0 Rightarrow a11 = 0 .
Da equação (7): .
Substituindo na equação (7):
Então, .

Passo 9

Da equação (2): a21 + a21 = 4 Rightarrow 2 a21 = 4 Rightarrow a21 = 2 .
Da equação (8): .
Substituindo :
Então, .

Passo 10

Da equação (3): - a31 + a32 = -2 a31 + a32 = 6 .
Da equação (9): (-a31 + a32) + (a31 + a32) = -2 + 6 Rightarrow 2 a32 = 4 Rightarrow a32 = 2 .
Temos um sistema:
a31 + 2 = 6 Rightarrow a31 = 4
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:

Passo 11

Agora, vamos para as equações (4), (5) e (6):
Da equação (10): 2 a13 + 2 = -1 Rightarrow 2 a13 = -3 Rightarrow a13 = -32 .
Da equação (11): 2 a23 + 1 = 4 Rightarrow 2 a23 = 3 Rightarrow a23 = 32 .
Da equação (12): 2 a33 + 3 = 5 Rightarrow 2 a33 = 2 Rightarrow a33 = 1 .
Agora, substituindo esses valores nas equações (4), (5) e (6):
Da equação (4):
Da equação (5):
Da equação (6):

Passo 12

Agora, já temos todos os elementos da matriz A = 0 & 0 & -32 & 2 2 & 2 & 32 & 1 4 & 2 & 1 & 3 :

Resposta

A transformação linear A = 0 & 0 & -32 & 2 2 & 2 & 32 & 1 4 & 2 & 1 & 3 pode ser representada pela seguinte matriz:

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