Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto (x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 - y1, x2 + y2) com as operações definidas lambda odot (x1, x2) = (lambda^2 x1, lambda^2 x2) e forma um espaço vetorial sobre os números reais .
Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer uma série de propriedades (ou axiomas) envolvendo a adição de vetores e a multiplicação por escalar. As operações dadas são:
Adição ():
Multiplicação por escalar ():
Nosso objetivo é verificar se todas as propriedades de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar quais são as propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer. Existem 8 axiomas fundamentais:
Fechamento da adição: A soma de dois vetores no espaço também deve estar no espaço.
Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
Associatividade da adição: A forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
Existência do vetor zero: Deve existir um vetor que, adicionado a qualquer vetor, não altera o vetor.
Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que, somado a ele, resulta no vetor zero.
Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve resultar em outro vetor no espaço.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Compatibilidade da multiplicação por escalares.
Multiplicação por escalar unitário: Multiplicar por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Fechamento da adição
Precisamos verificar se, ao somar dois vetores e usando , o resultado ainda pertence a .
Como são números reais, e também são reais. Logo, . Portanto, a adição está fechada em .
Ambos os lados são iguais, então a compatibilidade está satisfeita.
Passo 12
10. Multiplicação por escalar unitário
Devemos verificar se:
1 odot (x1, x2) = (x1, x2)
Calculando:
1 odot (x1, x2) = (1^2x1, 1^2x2) = (x1, x2)
Portanto, a propriedade está satisfeita.
Passo 13
Conclusão
Analisando todos os axiomas:
Fechamento da adição: Satisfeito.
Comutatividade da adição: Não satisfeito.
Associatividade da adição: Não satisfeito.
Existência do vetor zero: Satisfeito.
Existência de inversos aditivos: Não satisfeito para todos os vetores.
Fechamento da multiplicação por escalar: Satisfeito.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Satisfeito.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Não satisfeito.
Compatibilidade da multiplicação por escalares: Satisfeito.
Multiplicação por escalar unitário: Satisfeito.
Como nem todas as propriedades são satisfeitas (especialmente a comutatividade e a associatividade da adição, além da existência de inversos aditivos para todos os vetores), podemos concluir que com as operações e não forma um espaço vetorial sobre .
Resposta
Portanto, o conjunto com as operações definidas e não constitui um espaço vetorial sobre .