Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
© e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto com as operações definidas e forma um espaço vetorial sobre os números reais .
Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer uma série de propriedades (ou axiomas) envolvendo a adição de vetores e a multiplicação por escalar. As operações dadas são:
  • Adição ( ):
  • Multiplicação por escalar ( ):
Nosso objetivo é verificar se todas as propriedades de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar quais são as propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer. Existem 8 axiomas fundamentais:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores no espaço também deve estar no espaço.
  2. Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da adição: A forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
  4. Existência do vetor zero: Deve existir um vetor que, adicionado a qualquer vetor, não altera o vetor.
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que, somado a ele, resulta no vetor zero.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve resultar em outro vetor no espaço.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares.
  10. Multiplicação por escalar unitário: Multiplicar por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento da adição
Precisamos verificar se, ao somar dois vetores e usando , o resultado ainda pertence a .
Como são números reais, e também são reais. Logo, . Portanto, a adição está fechada em .

Passo 4

2. Comutatividade da adição
Precisamos verificar se .
Calculando os dois lados:
Para que seja comutativo, precisaríamos que e .
Enquanto a segunda parte é verdadeira devido à comutatividade da adição real, a primeira parte só é verdadeira se .
Como isso nem sempre é o caso, a adição não é comutativa.

Passo 5

3. Associatividade da adição
Mesmo já sabendo que a adição não é comutativa, vamos continuar verificando os outros axiomas para ter uma visão completa.
Precisamos verificar se
Calculando ambos os lados:
Esquerda:
Direita:
Comparando os resultados:
a menos que .
Portanto, a adição não é associativa.

Passo 6

4. Existência do vetor zero
Precisamos encontrar um vetor em tal que:
Usando a definição de :
Isso implica que e . Portanto, o vetor zero é e existe em .

Passo 7

5. Existência de inversos aditivos
Para cada vetor , deve existir um vetor em tal que:
Usando a definição de :
Para que isso seja igual a , precisamos que , ou seja, .
Portanto, só existe o inverso aditivo para vetores onde . Não existe inverso para vetores onde .

Passo 8

6. Fechamento da multiplicação por escalar
Precisamos verificar se, ao multiplicar um vetor por um escalar usando , o resultado ainda pertence a .
Como e , e também são reais. Logo, . Portanto, a multiplicação por escalar está fechada em .

Passo 9

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Devemos verificar se:
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Comparando:
Os dois são iguais, então a distributividade aqui é satisfeita.

Passo 10

8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Devemos verificar se:
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Comparando com o lado esquerdo:
A menos que ou , o que não é geral, as duas expressões não são iguais. Portanto, a distributividade não é satisfeita.

Passo 11

9. Compatibilidade da multiplicação por escalares
Precisamos verificar se:
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então a compatibilidade está satisfeita.

Passo 12

10. Multiplicação por escalar unitário
Devemos verificar se:
Calculando:
Portanto, a propriedade está satisfeita.

Passo 13

Conclusão
Analisando todos os axiomas:
  • Fechamento da adição: Satisfeito.
  • Comutatividade da adição: Não satisfeito.
  • Associatividade da adição: Não satisfeito.
  • Existência do vetor zero: Satisfeito.
  • Existência de inversos aditivos: Não satisfeito para todos os vetores.
  • Fechamento da multiplicação por escalar: Satisfeito.
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Satisfeito.
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Não satisfeito.
  • Compatibilidade da multiplicação por escalares: Satisfeito.
  • Multiplicação por escalar unitário: Satisfeito.
Como nem todas as propriedades são satisfeitas (especialmente a comutatividade e a associatividade da adição, além da existência de inversos aditivos para todos os vetores), podemos concluir que com as operações e não forma um espaço vetorial sobre .

Resposta

Portanto, o conjunto com as operações definidas e não constitui um espaço vetorial sobre .

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Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
(b) e .