Dê um exemplo de um sistema de equações lineares reais com quatro equações, três variáveis cujo conjunto das solução tem dimensão real 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é criar um sistema de quatro equações lineares com três variáveis. O legal é que as soluções desse sistema formem uma linha no espaço, ou seja, tenham dimensão 1. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas de equações e a ideia de dimensão do conjunto solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de equações lineares, a dimensão do conjunto solução depende do número de variáveis e do “rank” da matriz dos coeficientes. O rank é basicamente o número de equações independentes que temos. Para que o conjunto solução tenha dimensão 1, precisamos que o espaço das soluções seja uma linha, o que significa que temos uma direção livre para variar uma das variáveis.

Passo 3

Como temos três variáveis, vamos escolher uma delas para ser nossa variável livre. Vamos chamar de . Isso significa que as outras variáveis, e , vão depender de .

Passo 4

Vamos expressar e em termos de . Por exemplo, podemos definir:
Aqui, estamos dizendo que é igual a e é o dobro de . Isso garante que para qualquer valor de , temos um ponto na linha solução.

Passo 5

Agora, vamos construir as equações do sistema usando essas relações. Queremos que todas as quatro equações sejam verdadeiras para qualquer . Podemos criar as equações substituindo e por e respectivamente. Por exemplo:
Essas equações garantem que e para qualquer .

Passo 6

Vamos verificar se esse sistema realmente tem uma solução com dimensão 1. Observando as equações:
  1. A primeira equação já nos dá .
  2. A segunda equação nos dá .
  3. A terceira equação substituindo e por e resulta em , que é sempre verdade.
  4. A quarta equação substituindo da mesma forma dá , o que só seria verdade se . Isso limita a solução a apenas o ponto , não uma linha.

Passo 7

Oops! Parece que a quarta equação está tornando o sistema inconsistente para valores de diferentes de 0. Para manter a dimensão 1, precisamos que todas as equações sejam dependentes, ou seja, que a quarta equação seja um múltiplo das anteriores. Vamos ajustar a quarta equação para .

Passo 8

Agora, nosso sistema fica:
Verificando novamente:
  1. Substituindo:
  2. Substituindo: , o que só é verdade para .
Ainda não está funcionando. Vamos tentar deixar todas as quatro equações como combinações das duas primeiras.

Passo 9

Para garantir que todas as equações sejam dependentes e não restrinjam demais, podemos definir o sistema assim:
Agora, todas as equações adicionais são múltiplos das primeiras, garantindo que e para qualquer , formando uma linha no espaço.

Passo 10

Vamos verificar:
Tudo está consistente e o conjunto solução é uma linha com dimensão 1.

Resposta

Um exemplo de sistema que atende aos requisitos é:

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