Dê um exemplo de um sistema de equações lineares reais com quatro equações, três variáveis cujo conjunto das solução tem dimensão real 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é criar um sistema de quatro equações lineares com três variáveis. O legal é que as soluções desse sistema formem uma linha no espaço, ou seja, tenham dimensão 1. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas de equações e a ideia de dimensão do conjunto solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de equações lineares, a dimensão do conjunto solução depende do número de variáveis e do “rank” da matriz dos coeficientes. O rank é basicamente o número de equações independentes que temos. Para que o conjunto solução tenha dimensão 1, precisamos que o espaço das soluções seja uma linha, o que significa que temos uma direção livre para variar uma das variáveis.
Passo 3
Como temos três variáveis, vamos escolher uma delas para ser nossa variável livre. Vamos chamar de
. Isso significa que as outras variáveis,
e
, vão depender de
.
Passo 4
Vamos expressar
e
em termos de
. Por exemplo, podemos definir:
Aqui, estamos dizendo que
é igual a
e
é o dobro de
. Isso garante que para qualquer valor de
, temos um ponto na linha solução.
Passo 5
Agora, vamos construir as equações do sistema usando essas relações. Queremos que todas as quatro equações sejam verdadeiras para qualquer
. Podemos criar as equações substituindo
e
por
e
respectivamente. Por exemplo:
Essas equações garantem que
e
para qualquer
.
Passo 6
Vamos verificar se esse sistema realmente tem uma solução com dimensão 1. Observando as equações:
- A primeira equação
já nos dá . - A segunda equação
nos dá . - A terceira equação
substituindo e por e resulta em , que é sempre verdade. - A quarta equação
substituindo da mesma forma dá , o que só seria verdade se . Isso limita a solução a apenas o ponto , não uma linha.
Passo 7
Oops! Parece que a quarta equação está tornando o sistema inconsistente para valores de
diferentes de 0. Para manter a dimensão 1, precisamos que todas as equações sejam dependentes, ou seja, que a quarta equação seja um múltiplo das anteriores. Vamos ajustar a quarta equação para
.
Passo 8
Agora, nosso sistema fica:
Verificando novamente:
-
-
- Substituindo:
✓ - Substituindo:
, o que só é verdade para .
Ainda não está funcionando. Vamos tentar deixar todas as quatro equações como combinações das duas primeiras.
Passo 9
Para garantir que todas as equações sejam dependentes e não restrinjam demais, podemos definir o sistema assim:
Agora, todas as equações adicionais são múltiplos das primeiras, garantindo que
e
para qualquer
, formando uma linha no espaço.
Passo 10
Vamos verificar:
-
-
-
✓ -
✓
Tudo está consistente e o conjunto solução é uma linha com dimensão 1.
Resposta
Um exemplo de sistema que atende aos requisitos é: