Mostre que o conjunto dos números complexos C com as operações usuais é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos C, com as operações que a gente já conhece (adição e multiplicação), forma um espaço vetorial sobre os números reais R. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se C satisfaz todos os axiomas que definem um espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, R) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares, e que essas operações obedecem a certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

Agora, vamos identificar o conjunto e as operações. Nosso conjunto é C, os números complexos. As operações são:
  • Adição: Se temos dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a soma é z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.
  • Multiplicação por escalar: Se temos um número real k e um número complexo z = a + bi, a multiplicação é k cdot z = (k cdot a) + (k cdot b)i.

Passo 4

Vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um por um:
  1. Fechamento sob adição: Se somarmos dois números complexos, o resultado é outro número complexo. Já vimos que (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, que está em C. Então, isso tá ok.
  2. Comutatividade da adição: z1 + z2 = z2 + z1 porque (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i. Sim, comutativo.
  3. Associatividade da adição: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3). Isso também se mantém porque a soma de números reais é associativa.
  4. Elemento neutro da adição: Existe o número 0 + 0i que, somado a qualquer complexo z, dá z de volta. Então, existe um elemento neutro.
  5. Elemento inverso da adição: Para qualquer z = a + bi, o inverso é -z = -a - bi, já que z + (-z) = 0.
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um complexo por um real resulta em outro complexo, como vimos na definição.
  7. Distributividade do escalar em relação à adição de vetores: k cdot (z1 + z2) = k cdot z1 + k cdot z2. Isso é verdadeiro porque (a + c) + (b + d)i multiplicado por k é igual a k cdot a + k cdot c + (k cdot b + k cdot d)i.
  8. Distributividade da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar: (k + l) cdot z = k cdot z + l cdot z. Isso também vale, já que (k + l)(a + bi) = ka + la + (kb + lb)i.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: k cdot (l cdot z) = (k cdot l) cdot z. Multiplicando primeiro por l e depois por k é o mesmo que multiplicar por k cdot l diretamente.
  10. Identidade da multiplicação por escalar: 1 cdot z = z, já que multiplicar por 1 não muda o número complexo.

Passo 5

Como vimos, todos os 10 axiomas para um espaço vetorial estão satisfeitos quando consideramos C com as operações usuais sobre R. Portanto, podemos concluir que C realmente forma um espaço vetorial sobre os números reais.

Resposta

Sim, o conjunto dos números complexos C com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre R.

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