Mostre que o conjunto dos números complexos com as operações usuais é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos , com as operações que a gente já conhece (adição e multiplicação), forma um espaço vetorial sobre os números reais . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz todos os axiomas que definem um espaço vetorial sobre .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, ) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares, e que essas operações obedecem a certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
Agora, vamos identificar o conjunto e as operações. Nosso conjunto é , os números complexos. As operações são:
Adição: Se temos dois números complexos e , a soma é .
Multiplicação por escalar: Se temos um número real e um número complexo , a multiplicação é .
Passo 4
Vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um por um:
Fechamento sob adição: Se somarmos dois números complexos, o resultado é outro número complexo. Já vimos que , que está em . Então, isso tá ok.
Comutatividade da adição: porque . Sim, comutativo.
Associatividade da adição: . Isso também se mantém porque a soma de números reais é associativa.
Elemento neutro da adição: Existe o número que, somado a qualquer complexo , dá de volta. Então, existe um elemento neutro.
Elemento inverso da adição: Para qualquer , o inverso é , já que .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um complexo por um real resulta em outro complexo, como vimos na definição.
Distributividade do escalar em relação à adição de vetores: . Isso é verdadeiro porque multiplicado por é igual a .
Distributividade da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar: . Isso também vale, já que .
Associatividade da multiplicação por escalar: . Multiplicando primeiro por e depois por é o mesmo que multiplicar por diretamente.
Identidade da multiplicação por escalar: , já que multiplicar por 1 não muda o número complexo.
Passo 5
Como vimos, todos os 10 axiomas para um espaço vetorial estão satisfeitos quando consideramos com as operações usuais sobre . Portanto, podemos concluir que realmente forma um espaço vetorial sobre os números reais.
Resposta
Sim, o conjunto dos números complexos com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre .