Mostre que o conjunto dos números complexos
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números complexos
, com as operações que a gente já conhece (adição e multiplicação), forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todos os axiomas que definem um espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso,
) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares, e que essas operações obedecem a certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
Agora, vamos identificar o conjunto e as operações. Nosso conjunto é
, os números complexos. As operações são:
- Adição: Se temos dois números complexos
e , a soma é . - Multiplicação por escalar: Se temos um número real
e um número complexo , a multiplicação é .
Passo 4
Vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um por um:
-
Fechamento sob adição: Se somarmos dois números complexos, o resultado é outro número complexo. Já vimos que
, que está em . Então, isso tá ok. -
Comutatividade da adição:
porque . Sim, comutativo. -
Associatividade da adição:
. Isso também se mantém porque a soma de números reais é associativa. -
Elemento neutro da adição: Existe o número
que, somado a qualquer complexo , dá de volta. Então, existe um elemento neutro. -
Elemento inverso da adição: Para qualquer
, o inverso é , já que . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um complexo por um real resulta em outro complexo, como vimos na definição.
-
Distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
. Isso é verdadeiro porque multiplicado por é igual a . -
Distributividade da soma de escalares em relação à multiplicação por escalar:
. Isso também vale, já que . -
Associatividade da multiplicação por escalar:
. Multiplicando primeiro por e depois por é o mesmo que multiplicar por diretamente. -
Identidade da multiplicação por escalar:
, já que multiplicar por 1 não muda o número complexo.
Passo 5
Como vimos, todos os 10 axiomas para um espaço vetorial estão satisfeitos quando consideramos
com as operações usuais sobre
. Portanto, podemos concluir que
realmente forma um espaço vetorial sobre os números reais.
Resposta
Sim, o conjunto dos números complexos
com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre
.