Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto , junto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitos com essas operações. A gente vai resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial sobre é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras chamadas axiomas. Vamos conferir cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da Adição
Precisamos ver se somar dois vetores em usando mantém o resultado dentro de .
Claro que está em , então a adição está fechada em .
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
A adição precisa ser comutativa, ou seja:
Vamos testar com e :
Para ser comutativa, teria que ser igual a para todo e , o que não é verdade. Então, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 5
Axioma 3: Existência do Elemento Neutro da Adição
Existe um vetor em tal que:
Vamos ver:
Então, é o elemento neutro da adição.
Passo 6
Axioma 4: Existência do Inverso Adicional
Para cada vetor , existe um vetor tal que:
Vamos tentar:
Mas isso não dá , a menos que e . Ou seja, o inverso não funciona corretamente com a definição de .
Passo 7
Axioma 5: Fechamento da Multiplicação por Escalar
Precisamos ver se multiplicar um vetor por um escalar mantém o resultado em .
Claro que está em , então a multiplicação por escalar está fechada em .
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição Vetorial
O que queremos é que:
Vamos calcular os dois lados:
Então, , e isso está ok.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Queremos que:
Calculando os dois lados:
Para que sejam iguais, precisaríamos que e , o que só acontece se . Logo, esse axioma não é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Associatividade da Multiplicação por Escalar
Queremos que:
Vamos ver:
Então, esse axioma está ok.
Passo 11
Axioma 9: Existência do Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Precisamos que:
Vamos checar:
Então, o elemento 1 funciona como neutro para a multiplicação por escalar.
Passo 12
Conclusão dos Axiomas
Analisando todos os axiomas, percebemos que alguns não são satisfeitos com as operações definidas, como a comutatividade da adição e a existência do inverso aditivo. Isso significa que com as operações e não forma um espaço vetorial sobre .
Resposta
Após verificar todos os axiomas necessários, concluímos que o conjunto com as operações definidas e não é um espaço vetorial sobre .