Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre R, quando munido de cada uma das seguintes operações oplus e odot :
(b) (x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1, x2) e lambda odot(x1, x2)=(lambda x1, lambda x2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto (x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1, x2) , junto com as operações de adição lambda odot (x1, x2) = (lambda x1, lambda x2) e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitos com essas operações. A gente vai resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial sobre é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e essas operações seguem certas regras chamadas axiomas. Vamos conferir cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da Adição
Precisamos ver se somar dois vetores em (x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1, x2) usando mantém o resultado dentro de .
Claro que está em , então a adição está fechada em .
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
A adição precisa ser comutativa, ou seja:
u oplus v = v oplus u
Vamos testar com u oplus v = (x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1, x2) e v oplus u = (y1, y2) oplus (x1, x2) = (y1, y2) :
Para ser comutativa, teria que ser igual a para todo e , o que não é verdade. Então, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 5
Axioma 3: Existência do Elemento Neutro da Adição
Existe um vetor v oplus 0 = v para todo v in V em (x1, x2) oplus (0, 0) = (x1, x2) tal que:
Vamos ver:
Então, é o elemento neutro da adição.
Passo 6
Axioma 4: Existência do Inverso Adicional
Para cada vetor v oplus (-v) = 0 , existe um vetor (x1, x2) oplus (-x1, -x2) = (x1, x2) tal que:
Vamos tentar:
Mas isso não dá , a menos que e . Ou seja, o inverso não funciona corretamente com a definição de .
Passo 7
Axioma 5: Fechamento da Multiplicação por Escalar
Precisamos ver se multiplicar um vetor por um escalar mantém o resultado em lambda odot (x1, x2) = (lambda x1, lambda x2) .
Claro que está em , então a multiplicação por escalar está fechada em .
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição Vetorial
O que queremos é que:
lambda odot (u oplus v) = lambda odot u oplus lambda odot v
Então, o elemento 1 funciona como neutro para a multiplicação por escalar.
Passo 12
Conclusão dos Axiomas
Analisando todos os axiomas, percebemos que alguns não são satisfeitos com as operações definidas, como a comutatividade da adição e a existência do inverso aditivo. Isso significa que com as operações e não forma um espaço vetorial sobre .
Resposta
Após verificar todos os axiomas necessários, concluímos que o conjunto com as operações definidas e não é um espaço vetorial sobre .