Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre os números reais
e determinar sua dimensão, que deve ser 4. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como determinar a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a certas regras (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).
Então, para verificar se
é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
-
Adição: Se pegarmos dois elementos de
, digamos e , a soma deles será , que também está em . -
Multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um elemento de
por um escalar , teremos , que também pertence a .
Portanto,
é fechado sob essas operações, o que é um bom sinal de que é um espaço vetorial.
Passo 4
Além da adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar outras propriedades, mas geralmente, se o conjunto é fechado sob essas operações e contém o vetor zero (quando todos os coeficientes são zero), ele satisfaz as demais propriedades de um espaço vetorial.
O vetor zero em
seria
, que claramente está em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter.
Considerando as funções
,
,
e
, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.
Passo 6
Para verificar a independência linear, supomos que uma combinação linear delas seja igual ao vetor zero:
Queremos mostrar que os coeficientes
,
,
e
são todos zero.
Sabemos que
e
são funções trigonométricas, e
e
são funções exponenciais distintas. Essas funções pertencem a diferentes tipos de funções elementares e não podem ser escritas umas em termos das outras.
Portanto, a única solução para essa equação é
, o que mostra que as funções são linearmente independentes.
Passo 7
Como encontramos quatro funções linearmente independentes em
, isso significa que o conjunto
tem dimensão 4. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 4.