Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais e determinar sua dimensão, que deve ser 4. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como determinar a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a certas regras (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).
Então, para verificar se é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
  • Adição: Se pegarmos dois elementos de , digamos e , a soma deles será , que também está em .
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um elemento de por um escalar , teremos , que também pertence a .
Portanto, é fechado sob essas operações, o que é um bom sinal de que é um espaço vetorial.

Passo 4

Além da adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar outras propriedades, mas geralmente, se o conjunto é fechado sob essas operações e contém o vetor zero (quando todos os coeficientes são zero), ele satisfaz as demais propriedades de um espaço vetorial.
O vetor zero em seria , que claramente está em .

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter.
Considerando as funções , , e , precisamos verificar se elas são linearmente independentes.

Passo 6

Para verificar a independência linear, supomos que uma combinação linear delas seja igual ao vetor zero:
.
Queremos mostrar que os coeficientes , , e são todos zero.
Sabemos que e são funções trigonométricas, e e são funções exponenciais distintas. Essas funções pertencem a diferentes tipos de funções elementares e não podem ser escritas umas em termos das outras.
Portanto, a única solução para essa equação é , o que mostra que as funções são linearmente independentes.

Passo 7

Como encontramos quatro funções linearmente independentes em , isso significa que o conjunto tem dimensão 4. Portanto, é um espaço vetorial sobre com dimensão 4.

Resposta

é um espaço vetorial sobre com dimensão 4.

Exercícios relacionados

Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
© e .
Dê um exemplo de um sistema de equações lineares reais com quatro equações, três variáveis cujo conjunto das solução tem dimensão real 1.
Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
(b) e .
Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam uma matriz invertível e um conjunto de vetores linearmente independente do então também é linearmente independente.