Considere o conjunto de vetores em (polinômios de grau menor ou igual a 2) e o conjunto . Um estudante de MPA afirmou sem fazer nenhuma conta que o conjunto não é base para . Essa afirmação está correta? Justifique sua resposta com argumentos matemáticos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre espaços vetoriais, especificamente o conjunto , que são os polinômios de grau menor ou igual a 2. O conjunto foi apresentado, e um estudante afirmou que esse conjunto não é uma base para . Nosso objetivo é verificar se essa afirmação está correta usando argumentos matemáticos.
Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa um conjunto ser uma base para um espaço vetorial. Vamos precisar entender conceitos como independência linear e dimensão do espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
No caso do , que é o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 2, a dimensão desse espaço é 3. Isso porque podemos ter polinômios como , , e , que são linearmente independentes e geram todo o espaço .
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto . Para que seja uma base para , ele precisa ter exatamente 3 vetores (igual à dimensão de ) e esses vetores precisam ser linearmente independentes.
Mas olha só: tem apenas 2 vetores. Já que a dimensão de é 3, precisamos de 3 vetores para formar uma base. Então, com apenas 2 vetores, não dá para gerar todo o espaço .
Passo 4
Além disso, mesmo que a dimensão fosse 2, precisaríamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Para isso, verificaríamos se a única solução para é e . Mas, de qualquer forma, com apenas 2 vetores em um espaço de dimensão 3, não conseguimos cobrir todo o espaço.
Resposta
Sim, a afirmação do estudante está correta. O conjunto não é uma base para porque possui apenas 2 vetores, sendo que é um espaço de dimensão 3, necessitando de 3 vetores para formar uma base.