Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Verificar a igualdade (A B)^t=B^t A^t.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a igualdade é verdadeira para as matrizes fornecidas. Aqui estamos trabalhando com multiplicação de matrizes e a transposição de matrizes. Para resolver, vamos precisar multiplicar as matrizes e , depois transpor o resultado. Também vamos transpor as matrizes e individualmente e multiplicá-las nessa ordem para comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto A = 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 . Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Aqui, B = 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 é (A B)ij = sumk=1^2 Aik Bkj e A B = -11 & -1 & 11 & 1 9 & 11 & -23 & 24 -17 & 13 & -3 & 37 59 & 33 & -97 & 62 é , então podemos multiplicá-las resultando em uma matriz .
A matriz é:
A matriz é:
Para calcular , multiplicamos cada linha de por cada coluna de :
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Primeira linha de vezes cada coluna de :
  2. Segunda linha de vezes cada coluna de :
  3. Terceira linha de vezes cada coluna de :
  4. Quarta linha de vezes cada coluna de :
Então, é:

Passo 3

Agora, vamos transpor a matriz (A B)^t = -11 & 9 & -17 & 59 -1 & 11 & 13 & 33 11 & -23 & -3 & -97 1 & 24 & 37 & 62 , ou seja, calcular . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, a primeira linha de passa a ser a primeira coluna de , e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos calcular B^t = 1 & 6 3 & 2 -5 & -8 7 & 3 e A^t = 1 & 3 & 7 & 5 -2 & 1 & -4 & 9 separadamente.
A transposição de é:
E a transposição de é:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar B^t A^t = 1 & 6 3 & 2 -5 & -8 7 & 3 times 1 & 3 & 7 & 5 -2 & 1 & -4 & 9 por B^t A^t = -11 & 9 & -17 & 59 -1 & 11 & 13 & 33 11 & -23 & -3 & -97 1 & 24 & 37 & 62 , ou seja, calcular .
Vamos multiplicar linha por coluna:
  1. Primeira linha de vezes cada coluna de :
  2. Segunda linha de vezes cada coluna de :
  3. Terceira linha de vezes cada coluna de :
  4. Quarta linha de vezes cada coluna de :
Então, é:

Resposta

Comparando (A B)^t = B^t A^t = -11 & 9 & -17 & 59 -1 & 11 & 13 & 33 11 & -23 & -3 & -97 1 & 24 & 37 & 62 e , vemos que ambas as matrizes são iguais:
Portanto, a igualdade é verificada.

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