Considere o conjunto de vetores u1, u2, u3, onde
u1=(1,-2,0,3), u2=(1,-1,-1,4), u3=(1,0,-2,5)
Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores u1, u2, u3, isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja span u1, u2, u3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um sistema de equações lineares homogêneas cujo conjunto de soluções seja exatamente o espaço gerado pelos vetores u1, u2 e u3. Basicamente, queremos um sistema onde todas as soluções possam ser escritas como combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por u1, u2 e u3. Esse espaço, denotado por Span u1, u2, u3, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor x nesse espaço pode ser escrito como:
x = au1 + bu2 + cu3,
onde a, b e c são números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar um sistema homogêneo cujas soluções sejam exatamente esse span, precisamos encontrar as condições que esses vetores satisfazem. Em outras palavras, buscamos um sistema Ax = 0 onde A é uma matriz tal que o núcleo (ou espaço solução) de A seja o nosso span.

Passo 4

Uma maneira eficiente de fazer isso é montar uma matriz cujas colunas são os vetores u1, u2 e u3 e, em seguida, encontrar as relações lineares entre eles. Se essas três colunas forem linearmente independentes, o núcleo terá dimensão 4 - 3 = 1. Mas vamos verificar a independência deles.

Passo 5

Montamos a matriz U com as colunas sendo u1, u2 e u3:
U = 1 & 1 & 1 -2 & -1 & 0 0 & -1 & -2 3 & 4 & 5
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes calculando o posto da matriz.

Passo 6

Reduzimos a matriz U para a forma escalonada:
  1. Deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está).
  2. Zeramos abaixo: adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda, deixamos a terceira e quarta linhas.
  3. Continuamos o processo até obter uma matriz com um número máximo de pivôs.
Após a redução, vemos que as três colunas são realmente linearmente independentes, ou seja, o posto de U é 3.

Passo 7

Como as três colunas são independentes, o núcleo de U terá dimensão 4 - 3 = 1. Isso significa que existe uma única relação linear não trivial entre as coordenadas de x que define o sistema homogêneo.

Passo 8

Para encontrar essa relação, resolvemos Uc = 0, onde c é o vetor de coeficientes. Resolvendo o sistema, encontramos a condição que caracteriza o espaço solução.

Passo 9

Após resolver o sistema, encontramos que a relação entre as coordenadas de x = (x1, x2, x3, x4) é:
x1 - 2x2 + x4 = 0

Resposta

O sistema linear homogêneo cuja solução é exatamente o espaço gerado por u1, u2 e u3 é:
x1 - 2x2 + x4 = 0

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