Considere o conjunto de vetores , onde
Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores , isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja span .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um sistema de equações lineares homogêneas cujo conjunto de soluções seja exatamente o espaço gerado pelos vetores , e . Basicamente, queremos um sistema onde todas as soluções possam ser escritas como combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por , e . Esse espaço, denotado por Span , é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como:
onde , e são números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar um sistema homogêneo cujas soluções sejam exatamente esse span, precisamos encontrar as condições que esses vetores satisfazem. Em outras palavras, buscamos um sistema onde é uma matriz tal que o núcleo (ou espaço solução) de seja o nosso span.

Passo 4

Uma maneira eficiente de fazer isso é montar uma matriz cujas colunas são os vetores , e e, em seguida, encontrar as relações lineares entre eles. Se essas três colunas forem linearmente independentes, o núcleo terá dimensão . Mas vamos verificar a independência deles.

Passo 5

Montamos a matriz com as colunas sendo , e :
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes calculando o posto da matriz.

Passo 6

Reduzimos a matriz para a forma escalonada:
  1. Deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está).
  2. Zeramos abaixo: adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda, deixamos a terceira e quarta linhas.
  3. Continuamos o processo até obter uma matriz com um número máximo de pivôs.
Após a redução, vemos que as três colunas são realmente linearmente independentes, ou seja, o posto de é 3.

Passo 7

Como as três colunas são independentes, o núcleo de terá dimensão . Isso significa que existe uma única relação linear não trivial entre as coordenadas de que define o sistema homogêneo.

Passo 8

Para encontrar essa relação, resolvemos , onde é o vetor de coeficientes. Resolvendo o sistema, encontramos a condição que caracteriza o espaço solução.

Passo 9

Após resolver o sistema, encontramos que a relação entre as coordenadas de é:

Resposta

O sistema linear homogêneo cuja solução é exatamente o espaço gerado por , e é:

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Verifique se o conjunto e junto com a operação definida por é um grupo.
Considere os vetores , e em . Determine se esses vetores formam uma base para . Caso contrário, encontre a dimensão do subespaço gerado pelos vetores.
Verifique se o conjunto junto com a operação usual de multiplicação em constitui um grupo.
Considere o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .