Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores , isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja span .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um sistema de equações lineares homogêneas cujo conjunto de soluções seja exatamente o espaço gerado pelos vetores , e . Basicamente, queremos um sistema onde todas as soluções possam ser escritas como combinações lineares desses três vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por , e . Esse espaço, denotado por Span, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como:
onde , e são números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar um sistema homogêneo cujas soluções sejam exatamente esse span, precisamos encontrar as condições que esses vetores satisfazem. Em outras palavras, buscamos um sistema onde é uma matriz tal que o núcleo (ou espaço solução) de seja o nosso span.
Passo 4
Uma maneira eficiente de fazer isso é montar uma matriz cujas colunas são os vetores , e e, em seguida, encontrar as relações lineares entre eles. Se essas três colunas forem linearmente independentes, o núcleo terá dimensão . Mas vamos verificar a independência deles.
Passo 5
Montamos a matriz com as colunas sendo , e :
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes calculando o posto da matriz.
Passo 6
Reduzimos a matriz para a forma escalonada:
Deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está).
Zeramos abaixo: adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda, deixamos a terceira e quarta linhas.
Continuamos o processo até obter uma matriz com um número máximo de pivôs.
Após a redução, vemos que as três colunas são realmente linearmente independentes, ou seja, o posto de é 3.
Passo 7
Como as três colunas são independentes, o núcleo de terá dimensão . Isso significa que existe uma única relação linear não trivial entre as coordenadas de que define o sistema homogêneo.
Passo 8
Para encontrar essa relação, resolvemos , onde é o vetor de coeficientes. Resolvendo o sistema, encontramos a condição que caracteriza o espaço solução.
Passo 9
Após resolver o sistema, encontramos que a relação entre as coordenadas de é:
Resposta
O sistema linear homogêneo cuja solução é exatamente o espaço gerado por , e é: