Verifique se o conjunto G=0,1,2,3,4 junto com a operação usual de multiplicação em z constitui um grupo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto junto com a operação de multiplicação usual nos inteiros ( ) forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e quais são as condições que esse conjunto e operação precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um grupo. Na matemática, um grupo é um conjunto munido de uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro elemento dentro do mesmo conjunto. Para que isso aconteça, quatro propriedades precisam ser satisfeitas:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos do conjunto e aplicar a operação, o resultado também deve estar no conjunto.
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, para todos no conjunto.
  3. Elemento identidade: Deve existir um elemento no conjunto que, ao ser combinado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento. No caso da multiplicação, esse elemento é o 1.
  4. Elementos inversos: Para cada elemento no conjunto, deve existir outro elemento que, quando combinados, resultam no elemento identidade.
Vamos checar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a operação de multiplicação.

Passo 3

Fechamento: Vamos multiplicar todos os pares de elementos em 0 times 0 &= 0 0 times 1 &= 0 0 times 2 &= 0 0 times 3 &= 0 0 times 4 &= 0 1 times 1 &= 1 1 times 2 &= 2 1 times 3 &= 3 1 times 4 &= 4 2 times 2 &= 4 2 times 3 &= 6 2 times 4 &= 8 3 times 3 &= 9 3 times 4 &= 12 4 times 4 &= 16 e ver se o resultado está sempre dentro de .
Vimos que alguns resultados, como 6, 8, 9, 12 e 16, não estão em . Portanto, a propriedade de fechamento não é satisfeita.

Passo 4

Associatividade: A multiplicação de números inteiros é associativa. Isso significa que não precisamos nos preocupar com essa propriedade, já que sabemos que ela é válida para quaisquer inteiros.

Passo 5

Elemento identidade: Na multiplicação, o elemento identidade é 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo número. No conjunto , o número 1 está presente, então essa propriedade é satisfeita.

Passo 6

Elementos inversos: Para cada elemento em , precisamos que exista outro elemento em que, quando multiplicados, resultem em 1 (o elemento identidade). Vamos verificar:
  • O inverso de 1 é 1, que está em .
  • O inverso de 2 seria , que não está em .
  • O inverso de 3 seria , que não está em .
  • O inverso de 4 seria , que não está em .
  • O inverso de 0 não existe, pois não há número que multiplicado por 0 dê 1.
Como nem todos os elementos têm inverso dentro de , essa propriedade também não é satisfeita.

Resposta

Não, o conjunto com a operação de multiplicação usual nos inteiros não constitui um grupo, pois não satisfaz as propriedades de fechamento e existência de elementos inversos.

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