Verifique se o conjunto
junto com a operação usual de multiplicação em
constitui um grupo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto
junto com a operação de multiplicação usual nos inteiros (
) forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e quais são as condições que esse conjunto e operação precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um grupo. Na matemática, um grupo é um conjunto munido de uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro elemento dentro do mesmo conjunto. Para que isso aconteça, quatro propriedades precisam ser satisfeitas:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos do conjunto e aplicar a operação, o resultado também deve estar no conjunto.
- Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja,
para todos no conjunto. - Elemento identidade: Deve existir um elemento no conjunto que, ao ser combinado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento. No caso da multiplicação, esse elemento é o 1.
- Elementos inversos: Para cada elemento no conjunto, deve existir outro elemento que, quando combinados, resultam no elemento identidade.
Vamos checar cada uma dessas propriedades para o conjunto
com a operação de multiplicação.
Passo 3
Fechamento: Vamos multiplicar todos os pares de elementos em
e ver se o resultado está sempre dentro de
.
Vimos que alguns resultados, como 6, 8, 9, 12 e 16, não estão em
. Portanto, a propriedade de fechamento não é satisfeita.
Passo 4
Associatividade: A multiplicação de números inteiros é associativa. Isso significa que não precisamos nos preocupar com essa propriedade, já que sabemos que ela é válida para quaisquer inteiros.
Passo 5
Elemento identidade: Na multiplicação, o elemento identidade é 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo número. No conjunto
, o número 1 está presente, então essa propriedade é satisfeita.
Passo 6
Elementos inversos: Para cada elemento em
, precisamos que exista outro elemento em
que, quando multiplicados, resultem em 1 (o elemento identidade). Vamos verificar:
- O inverso de 1 é 1, que está em
. - O inverso de 2 seria
, que não está em . - O inverso de 3 seria
, que não está em . - O inverso de 4 seria
, que não está em . - O inverso de 0 não existe, pois não há número que multiplicado por 0 dê 1.
Como nem todos os elementos têm inverso dentro de
, essa propriedade também não é satisfeita.
Resposta
Não, o conjunto
com a operação de multiplicação usual nos inteiros não constitui um grupo, pois não satisfaz as propriedades de fechamento e existência de elementos inversos.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto de vetores
, onde
Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores
, isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja span
.
Verifique se o conjunto
e
junto com a operação definida por
é um grupo.
Considere o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Demonstrar que o conjunto de números reais
forma um grupo com a operação de adição (usual).